Знакопеременные ряды. Числовые ряды Суммирование рядов примеры

ВВЕДЕНИЕ

Методическое пособие предназначено для преподавателей математики в техникумах, а также для студентов второго курса, всех специальностей.

В данной работе излагаются основные понятия теории рядов. Теоретический материал соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта среднего профессионального образования (Министерство образования Российской Федерации. М., 2002г.).

Изложение теоретического материала по всей теме сопровождается рассмотрением большого количества примеров и задач, ведется на доступном, по-возможности строгом языке. В конце пособия приведены примеры и задания, которые студенты могут выполнять в режиме самоконтроля.

Пособие предназначено для студентов заочной и дневной форм обучения.

Учитывая уровень подготовки учащихся техникума, а также крайне ограниченное число часов (12 часов + 4 ф.), отводимое программой для прохождения высшей математики в техникумах, строгие выводы, представляющие большие трудности для усвоения, опущены, ограничиваясь рассмотрением примеров.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Решение задачи, представленной в математических терминах, например, в виде комбинации различных функций, их производных и интегралов, нужно уметь “довести до числа”, которое чаще всего и служит окончательным ответом. Для этого в различных разделах математики выработаны различные методы.

Раздел математики, позволяющий решить любую корректно поставленную задачу с достаточной для практического использования точностью, называется теорией рядов.

Даже если некоторые тонкие понятия математического анализа появились вне связи с теорией рядов, они немедленно применялись к рядам, которые служили как бы инструментом для испытания значимости этих понятий. Такое положение сохраняется и сейчас.

Выражение вида

где ;;;…;;… - члены ряда; - n-ый или общий член ряда, называется бесконечным рядом (рядом).

Если члены ряда:

I. Числовой ряд

1.1. Основные понятия числового ряда.

Числовым рядом называется сумма вида

, (1.1)

где ,,,…,,…, называемые членами ряда, образуют бесконечную последовательность; членназывается общим членом ряда.

составленные из первых членов ряда (1.1), называются частичными суммами этого ряда.

Каждому ряду можно сопоставить последовательность частичных сумм .

Если при бесконечном возрастании номера n частичная сумма ряда стремится к пределу, то ряд называется сходящимся, а число - суммой сходящегося ряда, т.е.

Эта запись равносильна записи

.

Если частичная сумма ряда (1.1) при неограниченном возрастании n не имеет конечного предела (стремится к или ), то такой ряд называется расходящимся .

Если ряд сходящийся , то значение при достаточно большом n является приближенным выражением суммы ряда S .

Разность называется остатком ряда. Если ряд сходится, то его остаток стремится к нулю, т.е., и наоборот, если остаток стремится к нулю, то ряд сходится.

1.2. Примеры числовых рядов.

Пример 1. Ряд вида

(1.2)

называется геометрическим .

Геометрический ряд образован из членов геометрической прогрессии.

Известно, что сумма её первых n членов . Очевидно: это n- ая частичная сумма ряда (1.2).

Возможны случаи:

Ряд (1.2) принимает вид:

,ряд расходится;

Ряд (1.2) принимает вид:

Не имеет предела, ряд расходится.

- конечное число, ряд сходится.

- ряд расходится.

Итак, данный ряд сходится при и расходится при .

Пример 2. Ряд вида

(1.3)

называется гармоническим .

Запишем частичную сумму этого ряда:

Сумма больше суммы, представленной следующим образом:

или .

Если , то , или .

Следовательно, если , то , т.е. гармонический ряд расходится.

Пример 3. Ряд вида

(1.4)

называется обобщенным гармоническим .

Если , то данный ряд обращается в гармонический ряд, который является расходящимся.

Если , то члены данного ряда больше соответствующих членов гармонического ряда и, значит, он расходится. При имеем геометрический ряд, в котором ; он является сходящимся.

Итак, обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при .

1.3. Необходимый и достаточные признаки сходимости.

Необходимый признак сходимости ряда.

Ряд может сходиться только при условии, что его общий член при неограниченном увеличении номера стремится к нулю: .

Если , то ряд расходится – это достаточный признак расходимости ряда.

Достаточные признаки сходимости ряда с положительными членами.

Признак сравнения рядов с положительными членами.

Исследуемый ряд сходится, если его члены не превосходят соответствующих членов другого, заведомо сходящегося ряда; исследуемый ряд расходится, если его члены превосходят соответствующие члены другого, заведомо расходящегося ряда.

Признак Даламбера.

Если для ряда с положительными членами

выполняется условие , то ряд сходится при и расходится при .

Признак Даламбера не дает ответа, если . В этом случае для исследования ряда применяются другие приемы.

Упражнения.

Записать ряд по его заданному общему члену:

Полагая ,,,…, имеем бесконечную последовательность чисел:

Сложив его члены, получим ряд

.

Поступая так же, получим ряд

.

Придаваязначения 1,2,3,… и учитывая, что,,,…, получим ряд

.

Найти n- ый член ряда по его данным первым членам:

Знаменатели членов ряда, начиная с первого, являются четными числами; следовательно, n- ый член ряда имеет вид .

Числители членов ряда образуют натуральный ряд чисел, а соответствующие им знаменатели – натуральный ряд чисел, а соответствующие им знаменатели – натуральный ряд чисел, начиная с 3. Знаки чередуются по закону или по закону . Значит, n- й член ряда имеет вид . или .

Исследовать сходимость ряда, применяя необходимый признак сходимости и признак сравнения:

;

.

Находим .

Необходимый признак сходимости ряда выполняется, но для решения вопроса о сходимости нужно применить один из достаточных признаков сходимости. Сравним данный ряд с геометрическим рядом

,

который сходится, так как.

Сравнивая члены данного ряда, начиная со второго, с соответствующими членами геометрического ряда, получим неравенства

т.е. члены данного ряда, начиная со второго, соответственно меньше членов геометрического ряда, откуда следует, что данный ряд сходится.

.

Здесь выполняется достаточный признак расходимости ряда; следовательно, ряд расходится.

Находим .

Необходимый признак сходимости ряда выполняется. Сравним данный ряд с обобщенным гармоническим рядом

,

который сходится, поскольку, следовательно, сходится и данный ряд.

Исследовать сходимость ряда, используя признак Даламбера:

;

.

Подставив в общий член ряда вместо n число n+ 1, получим . Найдем предел отношения -го члена к n- му члену при :

Следовательно, данный ряд сходится.

Значит, данный ряд расходится.

Т.е. ряд расходится.

II. Знакопеременный ряд

2.1 Понятие знакопеременного ряда.

Числовой ряд

называется знакопеременным , если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные числа.

Числовой ряд называется знакочередующимся , если любые два стоящие рядом члена имеют противоположные знаки.

где для всех (т.е. ряд, положительные и отрицательные члены которого следуют друг за другом поочередно). Например,

;

;

.

Для знакочередующихся рядов имеет место достаточный признак сходимости (установленный в 1714г. Лейбницем в письме к И.Бернулли).

2.2 Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость ряда.

Теорема (Признак Лейбница).

Знакочередующийся ряд сходится, если:

Последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает, т.е. ;

Общий член ряда стремится к нулю:.

При этом сумма S ряда удовлетворяет неравенствам

Замечания.

Исследование знакочередующегося ряда вида

(с отрицательным первым членом) сводится путем умножения всех его членов на к исследованию ряда .

Ряды, для которых выполняются условия теоремы Лейбница, называются лейбницевскими (или рядами Лейбница).

Соотношение позволяет получить простую и удобную оценку ошибки, которую мы допускаем, заменяя сумму S данного ряда его частичной суммой .

Отброшенный ряд (остаток) представляет собой также знакочередующийся ряд , сумма которого по модулю меньше первого члена этого ряда, т.е.. Поэтому ошибка меньше модуля первого из отброшенных членов.

Пример. Вычислить приблизительно сумму ряда .

Решение: данный ряд Лейбницевского типа. Он сходится. Можно записать:

.

Взяв пять членов, т.е. заменивна

Сделаем ошибку, меньшую,

чем. Итак,.

Для знакопеременных рядов имеет место следующий общий достаточный признак сходимости.

Теорема. Пусть дан знакопеременный ряд

Если сходится ряд

составленный из модулей членов данного ряда, то сходится и сам знакопеременный ряд.

Признак сходимости Лейбница для знакочередующихся рядов служит достаточным признаком сходимости знакочередующихся рядов.

Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся , если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов, т.е. всякий абсолютно сходящийся ряд является сходящимся.

Если знакопеременный ряд сходится, а составленный из абсолютных величин его членов ряд расходится, то данный ряд называется условно (неабсолютно) сходящимся.

2.3. Упражнения.

Исследовать на сходимость (абсолютную или условную) знакочередующийся ряд:

и

Следовательно, согласно признаку Лейбница, ряд сходится. Выясним, сходится ли этот ряд абсолютно или условно.

Ряд , составленный из абсолютных величин данного ряда, является гармоническим рядом, который, расходится. Поэтому данный ряд сходится условно.

Члены данного ряда по абсолютной величине монотонно убывают:

, но

.

Ряд расходится, так как признак Лейбница не выполняется.

Используя признак Лейбница, получим

;,

т.е. ряд сходится.

.

Это геометрический ряд вида, где, который сходится. Поэтому данный ряд сходится абсолютно.

Используя признак Лейбница, имеем

;

, т.е. ряд сходится.

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда:

, или

.

Это обобщенный гармонический ряд, который расходится, так как. Следовательно, данный ряд сходится условно.

III. Функциональный ряд

3.1. Понятие функционального ряда.

Ряд, членами которого являются функции от , называется функциональным :

Придавая определенное значение , получим числовой ряд

который может быть как сходящимся, так и расходящимся.

Если полученный числовой ряд сходится, то точка называется точкой сходимости функционального ряда; если же ряд расходится – точкой расходимости функционального ряда.

Совокупность числовых значений аргумента , при которых функциональный ряд сходится, называется его областью сходимости .

В области сходимости функционального ряда его сумма является некоторой функцией от :.

Определяется она в области сходимости равенством

, где

Частичная сумма ряда.

Пример. Найти область сходимости ряда .

Решение. Данный ряд является рядом геометрической прогрессии со знаменателем . Следовательно, этот ряд сходится при , т.е. при всех ; сумма ряда равна ;

, при .

3.2. Степенные ряды.

Степенным рядом называется ряд вида

,

где числа называются коэффициентами ряда , а член - общим членом ряда.

Областью сходимости степенного ряда называется множество всех значений , при которых данный ряд сходится.

Число называется радиусом сходимости степенного ряда, если при ряд сходится и притом абсолютно, а при ряд расходится.

Радиус сходимости найдем, используя признак Даламбера:

(не зависит от),

т.е. если степенной ряд сходится при любых , удовлетворяющих данному условию и расходится при .

Отсюда следует, что если существует предел

,

то радиус сходимости рядаравен этому пределу и степенной ряд сходится при , т.е. в промежутке , который называется промежутком (интервалом) сходимости.

Если , то степенной ряд сходится в единственной точке .

На концах промежутка ряд может сходиться (абсолютно или условно), но может и расходиться.

Сходимость степенного ряда при и исследуется с помощью какого-либо из признаков сходимости.

3.3. Упражнения.

Найти область сходимости ряда:

Решение. Найдем радиус сходимости данного ряда:

.

Следовательно, данный ряд абсолютно сходится на всей числовой оси.

Решение. Воспользуемся признаком Даламбера. Для данного ряда имеем:

.

Ряд абсолютно сходится, если или . Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости.

При имеем ряд

При имеем ряд- это тоже сходящийся Лейбницевский ряд. Следовательно, областью сходимости исходного ряда является отрезок.

Решение. Найдем радиус сходимости ряда:

Следовательно, ряд сходится при, т.е. при.

Приимеем ряд, который сходится по признаку Лейбница.

Приимеем расходящийся ряд

.

Следовательно, областью сходимости исходного ряда является промежуток.

IV. Разложение элементарных функций в ряд Маклорена.

Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, т.е. функцию представлять в виде суммы степенного ряда.

Рядом Тейлора для функции называется степенной ряд вида

Если , то получим частный случай ряда Тейлора

который называется рядом Маклорена .

Степенной ряд внутри его промежутка сходимости можно почленно дифференцировать и интегрировать сколько угодно раз, причем полученные ряды имеют тот же промежуток сходимости, что и исходный ряд.

Два степенных ряда можно почленно складывать и умножать по правилам сложения и умножения многочленов. При этом промежуток сходимости полученного нового ряда совпадает с общей частью промежутков сходимости исходных рядов.

Для разложения функции в ряд Маклорена необходимо:

Вычислить значения функции и ее последовательных производных в точке , т.е.,,,…,;

Составить ряд Маклорена, подставив значения функции и ее последовательных производных в формулу ряда Маклорена;

Найти промежуток сходимости полученного ряда по формуле

, .

Пример 1. Разложить в ряд Маклорена функцию.

Решение. Так как , то, заменяя на в разложении , получим:

Пример 2. Выписать ряд Маклорена функции .

Решение. Так как , то воспользовавшись формулой , в которой заменим на , получим:

,

Пример 3. Разложить в ряд Маклорена функцию .

Решение. Воспользуемся формулой . Так как

, то заменивнаполучим:

, или

где , т.е. .

V. Практические задания для самоконтроля студентов.

При помощи признака сравнения рядов установить сходимость

или расходимость рядов:

  • cходится условно;
  • cходится условно;
  • cходится абсолютно.

    • ;

    ;

    VII. Историческая справка.

    Решение многих задач сводится к вычислению значений функций и интегралов или к решению дифференциальных уравнений, содержащих производные или дифференциалы неизвестных функций.

    Однако точное выполнение указанных математических операций во многих случаях оказывается весьма затруднительным или невозможным. В этих случаях можно получить приближенное решение многих задач с любой желаемой точностью при помощи рядов.

    Ряды представляют собой простой и совершенный инструмент математического анализа для приближенного вычисления функций, интегралов и решений дифференциальных уравнений.

    И стоящим справа функциональным рядом.

    Для того, чтобы вместо знака “” можно было поставить знак равенства, необходимо провести некоторые дополнительные рассуждения, связанные именно с бесконечностью числа слагаемых в правой части равенства и касающиеся области сходимости ряда.

    При формула Тейлора принимает вид, в котором называется формулой Маклорена:

    Колин Маклорен (1698 – 1746), ученик Ньютона, в работе “Трактат о флюксиях” (1742) установил, что степенной ряд, выражающий аналитическую функцию, - единственный, и это будет ряд Тейлора, порожденный такой функцией. В формуле бинома Ньютона коэффициенты при степенях представляют собой значения , где .

    Итак, ряды возникли в XVIII в. как способ представления функций, допускающих бесконечное дифференцирование. Однако функция, представляемая рядом, не называлась его суммой, и вообще в то время не было еще определено, что такое сумма числового или функционального ряда, были только попытки ввести это понятие.

    Например, Л. Эйлер (1707-1783), выписав для функции соответствующий ей степенной ряд, придавал переменной конкретное значение . Получался числовой ряд. Суммой этого ряда Эйлер cчитал значение исходной функции в точке . Но это не всегда верно.

    О том, что расходящийся ряд не имеет суммы, ученые стали догадываться только в XIX в., хотя в XVIII в. многие, и прежде всего Л. Эйлер, много работали над понятиями сходимости и расходимости. Эйлер называл ряд сходящимся, если его общий член стремится к нулю при возрастании .

    В теории расходящихся рядов Эйлер получил немало существенных результатов, однако результаты эти долго не находили применения. Еще в 1826г. Н.Г. Абель (1802 – 1829) называл расходящиеся ряды “дьявольским измышлением”. Результаты Эйлера нашли обоснование лишь в конце XIX в.

    В формировании понятия суммы сходящегося ряда большую роль сыграл французский ученый О.Л. Коши (1789 – 1857); он сделал чрезвычайно много не только в теории рядов, но и теории пределов, в разработке самого понятия предела. В 1826г. Коши заявил, что расходящийся ряд не имеет суммы.

    В 1768г. французский математик и философ Ж.Л. Д’Аламбер исследовал отношение последующего члена к предыдущему в биномиальном ряде и показал, что если это отношение по модулю меньше единицы, то ряд сходится. Коши в 1821г. доказал теорему, излагающую в общем виде признак сходимости знакоположительных рядов, называемых теперь признаком Д’Аламбера.

    Для исследования сходимости знакочередующихся рядов используется признак Лейбница.

    Г.В. Лейбниц (1646 – 1716), великий немецкий математик и философ, наряду с И. Ньютоном является основоположником дифференциального и интегрального исчисления.

    Список литературы:

    Основная:

    1. Богомолов Н.В., Практические занятия по математике. М., “Высшая школа”, 1990 – 495 с.;
    2. Тарасов Н.П., Курс высшей математики для техникумов. М., “Наука”, 1971 – 448 с.;
    3. Зайцев И.Л., Курс высшей математики для техникумов. М., государственное издательство техникумов – теоретической литературы, 1957 - 339 с.;
    4. Письменный Д.Т., Курс лекций по высшей математике. М., “Айрис Пресс”, 2005, часть 2 – 256 с.;
    5. Выгодский М.Я., Справочник по высшей математике. М., “Наука”, 1975 – 872 с.;

    Дополнительная:

    1. Гусак А.А., Высшая математика. В 2-х т., Т.2: Учебное пособие для студентов вузов. Мос., “ТетраСистемс”, 1988 – 448 с.;
    2. Григулецкий В.Г., Лукьянова И.В., Петунина И.А., Математика для студентов экономических специальностей. Часть 2. Краснодар, 2002 – 348 с.;
    3. Григулецкий В.Г. и др. Задачник-практикум по математике. Краснодар. КГАУ, 2003 – 170 с.;
    4. Григулецкий В.Г., Степанцова К.Г., Гетман В.Н., Задачи и упражнения для студентов учетно-финансового факультета. Краснодар. 2001 – 173 с.;
    5. Григулецкий В.Г., Ященко З.В., Высшая математика. Краснодар, 1998 – 186 с.;
    6. Малыхин В.И., Математика в экономике. М., “Инфра-М”, 1999 – 356с.

    Определение числового ряда и его сходимости.

    Необходимый признак сходимости

    Пусть – бесконечная последовательность чисел.

    Определение. Выражение

    , (1)

    или, что то же самое, , называется числовым рядом , а числа https://pandia.ru/text/79/302/images/image005_146.gif" width="53" height="31">– членами ряда. Член с произвольным номером называется n -м, или общим членом ряда .

    Само по себе выражение (1) никакого определенного числового смысла не имеет, потому что, вычисляя сумму, мы каждый раз имеем дело лишь с конечным числом слагаемых. Определить смысл этого выражения наиболее естественно следующим образом.

    Пусть дан ряд (1).

    Определение. Сумма n первых членов ряда

    называется n -й частичной суммой ряда. Образуем последовательность частичных сумм:

    font-size:14.0pt">С неограниченным увеличением числа n в сумме учитывается все большее число членов ряда. Поэтому разумно дать такое определение.

    Определение. Если при существует конечный предел последовательности частичных сумм https://pandia.ru/text/79/302/images/image011_76.gif" width="103" height="41"> называется его суммой .

    Если последовательность https://pandia.ru/text/79/302/images/image013_77.gif" width="80" height="31">, 2) если колеблющаяся. В обоих случаях говорят, что ряд суммы не имеет.

    Пример 1. Рассмотрим ряд, составленный из членов геометрической прогрессии:

    , (2)

    где – называется первым членом прогрессии, а font-size:14.0pt"> Частичная сумма этого ряда при font-size:14.0pt">font-size:14.0pt">Отсюда:

    1) если , то

    font-size:14.0pt">т. е. ряд геометрической прогрессии сходится и его сумма .

    В частности, если , ряд сходится и его сумма .

    При https://pandia.ru/text/79/302/images/image026_42.gif" width="307" height="59 src="> также сходится и его сумма .

    2) если , то , т. е. ряд (2) расходится.

    3) если , то ряд (2) принимает вид font-size:14.0pt"> и , т. е. ряд расходится (при font-size:18.0pt">) .

    4) если https://pandia.ru/text/79/302/images/image036_32.gif" width="265" height="37"> . Для этого ряда

    https://pandia.ru/text/79/302/images/image038_28.gif" width="253" height="31 src=">,

    т. е..gif" width="67" height="41"> не существует, следовательно, ряд также расходится (при ) .

    Вычисление суммы ряда непосредственно по определению очень неудобно из-за трудности явного вычисления частичных сумм font-size:14.0pt"> и нахождения предела их последовательности. Но, если установлено, что ряд сходится, его сумму можно вычислить приближенно, т. к. из определения предела последовательности следует, что при достаточно больших . Поэтому при исследовании рядов достаточно

    1) знать приемы, позволяющие констатировать сходимость ряда без нахождения его суммы;

    2) уметь определить font-size:14.0pt">.gif" width="16 height=24" height="24"> с определенной точностью.

    Сходимость числовых рядов устанавливается с помощью теорем, которые называются признаками сходимости.

    Необходимый признак сходимости

    Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю, т. е. font-size:14.0pt">.gif" width="61 height=63" height="63"> расходится.

    Пример 2. Доказать, что ряд 0 " style="border-collapse:collapse">

    ;

    ;

    ;

    .

    Решение.

    А) https://pandia.ru/text/79/302/images/image051_28.gif" width="176" height="81 src="> расходится.

    и поэтому ряд расходится. При решении использовался второй замечательный

    предел: (подробнее см. ).

    В) font-size:14.0pt">, т. е. последовательность

    – бесконечно

    малая. Так как при font-size:14.0pt">~ (см. ), то ~ .

    Учитывая это, получим:

    значит, ряд расходится.

    Г) font-size:14.0pt">,

    следовательно, ряд расходится.

    Условие является необходимым, но не достаточным условием сходимости ряда: существует множество рядов, для которых , но которые тем не менее расходятся.

    Пример 3. Исследовать сходимость ряда font-size:14.0pt"> Решение. Заметим, что https://pandia.ru/text/79/302/images/image066_20.gif" width="119" height="59 src=">, т. е. необходимое условие сходимости выполнено. Частичная сумма

    left">

    – раз

    поэтому font-size:14.0pt">, а это значит, что ряд расходится по определению.

    Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов

    Пусть . Тогда ряд font-size:14.0pt"> Признак сравнения

    Пусть и – знакоположительные ряды. Если для всех выполняется неравенство , то из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда https://pandia.ru/text/79/302/images/image074_19.gif" width="55" height="60">.

    Этот признак остается в силе, если неравенство https://pandia.ru/text/79/302/images/image072_18.gif" width="60" height="24">, а лишь начиная с некоторого номера . Его можно проинтерпретировать следующим образом: если больший ряд сходится, то меньший тем более сходится; если расходится меньший ряд, то больший также расходится.

    Пример 4. Исследовать сходимость ряда 0 " style="margin-left:50.4pt;border-collapse:collapse">

    ;

    Решение.

    А) Заметим, что font-size:14.0pt"> для всех . Ряд с общим членом

    сходится, т. к. является рядом геометрической прогрессии со знаменателем (см. пример 1), поэтому данный ряд сходится по признаку сравнения.

    Б) Сравним ряд с рядом ..gif" width="91" height="29 src=">.gif" width="87" height="59"> расходится, значит, данный ряд также расходится.

    Несмотря на простоту формулировки признака сравнения, на практике более удобна следующая теорема, являющаяся его следствием.

    Предельный признак сравнения

    Пусть https://pandia.ru/text/79/302/images/image071_17.gif" width="53" height="60 src="> – знакоположительные ряды. Если существует конечный и не равный нулю предел , то оба ряда и

    одновременно сходятся или одновременно расходятся.

    В качестве ряда, используемого для сравнения с данным, часто выбирают ряд вида . Такой ряд называется рядом Дирихле . В примерах 3 и 4 было показано, что ряд Дирихле с и расходится. Можно пока-

    зать, что ряд font-size:14.0pt"> .

    Если , то ряд называется гармоническим . Гармонический ряд расходится.

    Пример 5. Исследовать на сходимость ряд с помощью предельного признака сравнения, если

    ;

    ;

    ;

    Решение. а) Так как при достаточно больших https://pandia.ru/text/79/302/images/image101_9.gif" width="31" height="23 src=">, а

    ~ , то ~ font-size:14.0pt">сравнения с данным гармонический ряд font-size:14.0pt">, т. е. .

    font-size:14.0pt"> Поскольку предел конечен и отличен от нуля и гармонический ряд расходится, то расходится и данный ряд.

    Б) При достаточно больших https://pandia.ru/text/79/302/images/image109_10.gif" width="111" height="31 src=">.gif" width="129" height="31 src=">.gif" width="132" height="64 src="> – общий член ряда, с которым будем сравнивать данный:

    Font-size:14.0pt">Ряд сходится (ряд Дирихле с font-size:16.0pt">) , поэтому данный ряд также сходится.

    В) , поэтому бесконечно малую font-size:14.0pt"> можно

    заменить на эквивалентную ей при величину (https://pandia.ru/text/79/302/images/image058_20.gif" width="13" height="21 src="> при font-size: 20.0pt">) . ;

    ;

    ;

    г )

    ;

    .

    1

    Определение 1.1. Числовым рядом с общим членом называют последовательность чисел соединенных знаком сложения, т. е. выражение вида:

    Такой ряд записывают также в виде

    Пример 1.1. Если то ряд имеет вид:

    Иногда при записи ряда выписывают только несколько его первых членов. Это делают лишь тогда, когда закономерность, характерная для членов ряда, легко усматривается. Строго говоря, такой способ задания ряда не является математически корректным, так как получение формулы общего члена по нескольким первым членам ряда - задача, не имеющая однозначного решения.

    Пример 1.2. Напишем одну из возможных формул для общего члена ряда, зная его первые 4 члена:

    Решение. Рассмотрим сначала последовательность числителей 2, 5, 8, 11. Они образуют арифметическую прогрессию, первый член которой равен 2, а разность равна 3. Это позволяет в качестве общего выражения для числителя взять формулу общего члена арифметической прогрессии: Знаменатели 2, 6, 18, 54 образуют геометрическую прогрессию с

    первым членом 2 и знаменателем 3. В качестве их общего выражения можно взять формулу общего члена геометрической прогрессии Итак, общий член ряда будет иметь следующий вид:

    Следует отметить, что в качестве общего члена можно было бы принять и более сложное выражение

    Частичных сумм не имеет конечного предела. Напр., ряды

    расходятся.

    Р. р. стали появляться в работах математиков 17-18 вв. Л. Эйлер (L. Euler) первым пришел к выводу, что нужно ставить вопрос, не чему равна сумма, а как определить сумму Р. р., и нашел подход к решению этого вопроса, близкий к современному. Р. р. до кон. 19 в. не находили применения и были почти забыты. Накопление к кон. 19 в. различных фактов математич. анализа вновь пробудило интерес к Р. р. Стал выдвигаться вопрос о возможности суммирования рядов в нек-ром смысле, отличном от обычного.

    П р и м е р ы. 1) Если перемножить два ряда


    сходящихся соответственно к А и В, то полученный в результате перемножения ряд

    может оказаться расходящимся. Однако если сумму ряда (1) определить не как частичных сумм s n , а как

    (2)

    то в этом смысле ряд (1) всегда будет сходиться (т. е. предел в (2) будет существовать) и его сумма в этом смысле равна С=АВ.

    2) Ряд Фурье функции f(х), непрерывной в точке х 0 (или имеющей разрыв 1-го рода), может расходиться в этой точке. Если же сумму ряда определить по формуле (2), то в этом смысле ряд Фурье такой функции всегда будет сходиться и его сумма в этом смысле равна f(x 0) (или соответственно , если х 0 - точка разрыва 1-го рода).

    3) Степенной ряд

    сходится для к сумме и расходится для . Если сумму ряда определить как

    (4)

    где s n - частичные суммы ряда (3), то в этом смысле ряд (3) будет сходиться для всех z, удовлетворяющих условию Re z

    Для обобщения понятия суммы ряда в теории Р. р. рассматривают нек-рую операцию или правило, в результате к-рого Р. р. ставится в определенное , наз. его суммой (в этом определении). Такое правило наз. суммирования, методом. Так, правило, описанное в примере 1), наз. методом суммирования средних арифметических (см. Чезаро методы суммирования ). Правило, определяемое в примере 2), наз. Бореля методом суммирования.

    См. также Суммирование расходящихся рядов . Лит. : В о г е 1 Е., Lecons sur les series divergentes, P., 1928; Х а р д и Г., Расходящиеся ряды, пер. с англ., М., 1951; Кук Р., Бесконечные матрицы и пространства последовательностей, пер. с англ., М., I960; Р е у е r i m h о f f A., Lectures on summability, В., 1969; К n о р р К., Theory and application on infinite series, N. Y., 1971; Z e 1 1 е r К., B e e k m a n n V., Theory der Limitierungsverfahren, B.- Hdlb. - N. Y., 1970. И. И. Волков.


    Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977-1985 .

    Смотреть что такое "РАСХОДЯЩИЙСЯ РЯД" в других словарях:

      расходящийся ряд - — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN divergent series … Справочник технического переводчика

      расходящийся ряд - diverguojančioji eilutė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. divergent series vok. divergente Reihe, f rus. расходящийся ряд, m pranc. série divergente, f … Fizikos terminų žodynas

      Ряд, у которого последовательность частичных сумм не имеет конечного предела. Если общий член ряда не стремится к нулю, то ряд расходится, например 1 1 + 1 1 + ... + (1) n 1 + ...; примером Р. p., общий член которого стремится к нулю,… …

      Добавление членов ряда Фурье … Википедия

      Ряд, бесконечная сумма, например вида u1 + u2 + u3 +... + un +... или, короче, . (1) Одним из простейших примеров Р., встречающихся уже в элементарной математике, является сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии 1 + q + q 2 +... + q… … Большая советская энциклопедия

      Содержание. 1) Определение. 2) Число, определяемое рядом. 3) Сходимость и расходимость рядов. 4) Условная и абсолютная сходимость. 5) Равномерная сходимость. 6) Разложение функций в ряды. 1. Определения. Р. есть последовательность элементов,… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

      I бесконечная сумма, например вида u1 + u2 + u3 +... + un +... или, короче, Одним из простейших примеров Р., встречающихся уже в элементарной математике, является сумма бесконечно убывающей… … Большая советская энциклопедия

      Б е с к о н е ч н а я с у м м а, последовательность элементов (наз. ч л е н а м и д а н н о г о р я д а) нек рого линейного топологич. пространства и определенное бесконечное множество их конечных сумм (наз. ч а с т и ч н ы м и с у м м а м и р я… … Математическая энциклопедия

      Ряд Фурье представление произвольной функции f с периодом τ в виде ряда Этот ряд может быть также переписан в виде. где Ak амплитуда k го гармонического колебания (функции cos), кру … Википедия