Perkiraan data eksperimen adalah suatu metode yang didasarkan pada penggantian data yang diperoleh secara eksperimen dengan fungsi analitik yang paling mendekati atau bertepatan pada titik nodal dengan nilai aslinya (data yang diperoleh selama suatu percobaan atau percobaan). Saat ini, ada dua cara untuk mendefinisikan fungsi analitik:
Dengan membuat polinomial interpolasi derajat n yang lolos langsung melalui semua titik kumpulan data tertentu. Dalam hal ini, fungsi aproksimasi disajikan dalam bentuk: polinomial interpolasi dalam bentuk Lagrange atau polinomial interpolasi dalam bentuk Newton.
Dengan membuat polinomial aproksimasi derajat n yang lolos di sekitar titik dari array data tertentu. Dengan demikian, fungsi perkiraan memuluskan semua gangguan acak (atau kesalahan) yang mungkin timbul selama percobaan: nilai yang diukur selama percobaan bergantung pada faktor acak yang berfluktuasi menurut hukum acaknya sendiri (kesalahan pengukuran atau instrumen, ketidakakuratan atau eksperimen). kesalahan). Dalam hal ini, fungsi aproksimasi ditentukan dengan menggunakan metode kuadrat terkecil.
Metode kuadrat terkecil(dalam literatur berbahasa Inggris Ordinary Least Squares, OLS) adalah metode matematika yang didasarkan pada penentuan fungsi perkiraan, yang dibangun paling dekat dengan titik-titik dari serangkaian data eksperimen tertentu. Kedekatan fungsi asli dan fungsi aproksimasi F(x) ditentukan dengan ukuran numerik, yaitu: jumlah deviasi kuadrat data eksperimen dari kurva aproksimasi F(x) harus yang terkecil.
Perkiraan kurva dibuat menggunakan metode kuadrat terkecil
Metode kuadrat terkecil yang digunakan:
Untuk menyelesaikan sistem persamaan overdetermined ketika jumlah persamaan melebihi jumlah persamaan yang tidak diketahui;
Untuk menemukan solusi dalam kasus sistem persamaan nonlinier biasa (tidak ditentukan secara berlebihan);
Untuk memperkirakan nilai titik dengan beberapa fungsi perkiraan.
Fungsi aproksimasi dengan metode kuadrat terkecil ditentukan dari kondisi jumlah minimum simpangan kuadrat dari fungsi aproksimasi yang dihitung dari serangkaian data eksperimen tertentu. Kriteria metode kuadrat terkecil ini ditulis sebagai ekspresi berikut:
Nilai fungsi perkiraan yang dihitung pada titik nodal,
Kumpulan data eksperimen tertentu pada titik nodal.
Kriteria kuadrat memiliki sejumlah sifat “baik”, seperti diferensiasi, memberikan solusi unik terhadap masalah aproksimasi dengan fungsi aproksimasi polinomial.
Bergantung pada kondisi soal, fungsi aproksimasinya adalah polinomial berderajat m
Derajat fungsi aproksimasi tidak bergantung pada jumlah titik nodal, tetapi dimensinya harus selalu lebih kecil dari dimensi (jumlah titik) larik data eksperimen tertentu.
∙ Jika derajat fungsi aproksimasinya adalah m=1, maka fungsi tabel tersebut kita aproksimasi dengan garis lurus (regresi linier).
∙ Jika derajat fungsi aproksimasinya adalah m=2, maka fungsi tabel tersebut kita aproksimasi dengan parabola kuadrat (perkiraan kuadrat).
∙ Jika derajat fungsi aproksimasinya adalah m=3, maka fungsi tabel tersebut kita aproksimasi dengan parabola kubik (pendekatan kubik).
Dalam kasus umum, ketika perlu membuat polinomial aproksimasi dengan derajat m untuk diberikan nilai tabel, syarat jumlah minimum simpangan kuadrat pada semua titik nodal ditulis ulang dalam bentuk berikut:
- koefisien yang tidak diketahui dari polinomial aproksimasi derajat m;
Jumlah nilai tabel yang ditentukan.
Kondisi yang diperlukan untuk keberadaan minimum suatu fungsi adalah persamaan turunan parsialnya dengan nol terhadap variabel yang tidak diketahui . Hasilnya, kita memperoleh sistem persamaan berikut:
Mari kita ubah hasilnya sistem linier persamaan: buka tanda kurung dan pindahkan suku bebas ke sisi kanan ekspresi. Hasilnya, sistem ekspresi aljabar linier yang dihasilkan akan ditulis dalam bentuk berikut:
Sistem ini ekspresi aljabar linier dapat ditulis ulang dalam bentuk matriks:
Hasilnya, diperoleh sistem persamaan linier berdimensi m+1, yang terdiri dari m+1 yang tidak diketahui. Sistem ini dapat diselesaikan dengan menggunakan metode apa pun untuk menyelesaikan persamaan aljabar linier (misalnya metode Gaussian). Sebagai hasil dari penyelesaian, akan ditemukan parameter fungsi perkiraan yang tidak diketahui yang memberikan jumlah minimum deviasi kuadrat fungsi perkiraan dari data asli, yaitu. perkiraan kuadrat terbaik. Perlu diingat bahwa jika hanya satu nilai dari data awal yang berubah, semua koefisien akan mengubah nilainya, karena nilai tersebut sepenuhnya ditentukan oleh data awal.
Perkiraan data awal dengan ketergantungan linier
(regresi linier)
Sebagai contoh, mari kita perhatikan teknik menentukan fungsi aproksimasi, yang dinyatakan dalam bentuk ketergantungan linier. Sesuai dengan metode kuadrat terkecil, syarat minimum jumlah simpangan kuadrat ditulis dalam bentuk berikut:
Koordinat node tabel;
Koefisien fungsi perkiraan yang tidak diketahui, yang ditetapkan sebagai ketergantungan linier.
Kondisi yang diperlukan untuk keberadaan minimum suatu fungsi adalah persamaan turunan parsialnya dengan nol terhadap variabel yang tidak diketahui. Hasilnya, kita memperoleh sistem persamaan berikut:
Mari kita ubah sistem persamaan linier yang dihasilkan.
Kami memecahkan sistem persamaan linear yang dihasilkan. Koefisien fungsi aproksimasi dalam bentuk analitik ditentukan sebagai berikut (metode Cramer):
Koefisien ini memastikan konstruksi fungsi aproksimasi linier sesuai dengan kriteria meminimalkan jumlah kuadrat fungsi aproksimasi dari nilai tabel yang diberikan (data eksperimen).
Algoritma untuk menerapkan metode kuadrat terkecil
1. Data awal:
Array data eksperimen dengan jumlah pengukuran N ditentukan
Derajat aproksimasi polinomial (m) ditentukan
2. Algoritma perhitungan:
2.1. Koefisien ditentukan untuk membangun sistem persamaan dengan dimensi
Koefisien sistem persamaan (sisi kiri persamaan)
- indeks nomor kolom matriks persegi sistem persamaan
Suku bebas suatu sistem persamaan linear (sisi kanan persamaan)
- indeks nomor baris matriks persegi sistem persamaan
2.2. Pembentukan sistem persamaan linear berdimensi .
2.3. Memecahkan sistem persamaan linier untuk menentukan koefisien yang tidak diketahui dari polinomial aproksimasi derajat m.
2.4.Penentuan jumlah simpangan kuadrat polinomial aproksimasi dari nilai aslinya di semua titik nodal
Nilai yang ditemukan dari jumlah simpangan kuadrat adalah yang seminimal mungkin.
Perkiraan menggunakan fungsi lain
Perlu dicatat bahwa ketika memperkirakan data asli sesuai dengan metode kuadrat terkecil, fungsi logaritma, fungsi eksponensial, dan fungsi pangkat terkadang digunakan sebagai fungsi perkiraan.
Perkiraan logaritmik
Mari kita pertimbangkan kasus ketika fungsi perkiraan diberikan oleh fungsi logaritma dalam bentuk:
Contoh.
Data eksperimen tentang nilai variabel X Dan pada diberikan dalam tabel. 
Sebagai hasil dari penyelarasannya, suatu fungsi diperoleh 
Menggunakan metode kuadrat terkecil, perkirakan data ini dengan ketergantungan linier y=kapak+b(temukan parameter A Dan B). Cari tahu mana di antara dua garis yang lebih baik (dalam pengertian metode kuadrat terkecil) yang menyelaraskan data eksperimen. Buatlah gambar.
Inti dari metode kuadrat terkecil (LSM).
Tugasnya adalah menemukan koefisien ketergantungan linier di mana fungsi dua variabel berada A Dan B 
mengambil nilai terkecil. Artinya, diberikan A Dan B jumlah simpangan kuadrat data eksperimen dari garis lurus yang ditemukan akan menjadi yang terkecil. Inilah inti dari metode kuadrat terkecil.
Jadi, penyelesaian contohnya adalah mencari titik ekstrem dari suatu fungsi dua variabel.
Menurunkan rumus untuk mencari koefisien.
Sebuah sistem dua persamaan dengan dua hal yang tidak diketahui dikompilasi dan diselesaikan. Menemukan turunan parsial suatu fungsi terhadap variabel A Dan B, kita menyamakan turunan ini dengan nol. 
Kami menyelesaikan sistem persamaan yang dihasilkan menggunakan metode apa pun (misalnya dengan metode substitusi atau ) dan dapatkan rumus mencari koefisien menggunakan metode kuadrat terkecil (LSM). 
Diberikan A Dan B fungsi mengambil nilai terkecil. Bukti dari fakta ini diberikan.
Itulah keseluruhan metode kuadrat terkecil. Rumus untuk mencari parameter A berisi jumlah , , , dan parameter N- jumlah data eksperimen. Kami menyarankan untuk menghitung nilai jumlah ini secara terpisah. Koefisien B ditemukan setelah perhitungan A.
Saatnya mengingat contoh aslinya.
Larutan.
Dalam contoh kita n=5. Kami mengisi tabel untuk kemudahan menghitung jumlah yang termasuk dalam rumus koefisien yang diperlukan. 
Nilai pada baris keempat tabel diperoleh dengan mengalikan nilai baris ke-2 dengan nilai baris ke-3 untuk setiap angka. Saya.
Nilai pada baris kelima tabel diperoleh dengan mengkuadratkan nilai pada baris ke-2 untuk setiap angka Saya.
Nilai di kolom terakhir tabel adalah jumlah nilai di seluruh baris.
Kami menggunakan rumus metode kuadrat terkecil untuk mencari koefisien A Dan B. Kami mengganti nilai yang sesuai dari kolom terakhir tabel ke dalamnya: 
Karena itu, kamu = 0,165x+2,184- perkiraan garis lurus yang diinginkan.
Masih mencari tahu garis yang mana kamu = 0,165x+2,184 atau lebih mendekati data asli, yaitu estimasi menggunakan metode kuadrat terkecil.
Estimasi kesalahan metode kuadrat terkecil.
Untuk melakukan ini, Anda perlu menghitung jumlah deviasi kuadrat dari data asli dari garis-garis ini 
Dan 
, nilai yang lebih kecil menunjukkan garis yang lebih mendekati data asli dalam pengertian metode kuadrat terkecil. 
Sejak , maka lurus kamu = 0,165x+2,184 lebih mendekati data aslinya.
Ilustrasi grafis metode kuadrat terkecil (LS).
Semuanya terlihat jelas di grafik. Garis merah adalah garis lurus yang ditemukan kamu = 0,165x+2,184, garis biru adalah , titik merah muda adalah data asli.
Mengapa hal ini diperlukan, mengapa semua perkiraan ini?
Saya pribadi menggunakannya untuk menyelesaikan masalah perataan data, masalah interpolasi dan ekstrapolasi (dalam contoh asli mereka mungkin diminta untuk menemukan nilai dari nilai yang diamati kamu pada x=3 atau kapan x=6 menggunakan metode kuadrat terkecil). Namun kita akan membicarakannya lebih lanjut nanti di bagian lain situs ini.
Bukti.
Sehingga ketika ditemukan A Dan B fungsi mengambil nilai terkecil, pada titik ini diperlukan matriks berbentuk kuadrat dari diferensial orde kedua untuk fungsi tersebut adalah positif pasti. Mari kita tunjukkan.
Diferensial orde kedua berbentuk: 
Yaitu
Oleh karena itu, matriks berbentuk kuadrat mempunyai bentuk 
dan nilai elemen tidak bergantung pada A Dan B.
Mari kita tunjukkan bahwa matriks tersebut pasti positif. Untuk melakukan ini, sudut minor harus positif.
Minor sudut orde pertama 
. Ketimpangan tersebut sangat ketat karena titik-titiknya tidak berhimpitan. Berikut ini kami akan menyiratkan hal ini.
Minor sudut orde kedua 
Mari kita buktikan itu 
dengan metode induksi matematika.
Kesimpulan: nilai yang ditemukan A Dan B sesuai dengan nilai terkecil dari fungsi tersebut , oleh karena itu, adalah parameter yang diperlukan untuk metode kuadrat terkecil.
Setelah diratakan, kita memperoleh fungsi dengan bentuk berikut: g (x) = x + 1 3 + 1 .
Kita dapat memperkirakan data ini menggunakan hubungan linier y = a x + b dengan menghitung parameter terkait. Untuk melakukan ini, kita perlu menerapkan apa yang disebut metode kuadrat terkecil. Anda juga perlu membuat gambar untuk memeriksa garis mana yang paling tepat untuk menyelaraskan data eksperimen.
Apa sebenarnya OLS (metode kuadrat terkecil)
Hal utama yang perlu kita lakukan adalah mencari koefisien ketergantungan linier yang nilai fungsi dua variabel F (a, b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2 adalah terkecil. Dengan kata lain, untuk nilai a dan b tertentu, jumlah simpangan kuadrat data yang disajikan dari garis lurus yang dihasilkan akan mempunyai nilai minimum. Inilah yang dimaksud dengan metode kuadrat terkecil. Yang perlu kita lakukan untuk menyelesaikan contoh ini adalah mencari titik ekstrem fungsi dua variabel.
Cara menurunkan rumus untuk menghitung koefisien
Untuk mendapatkan rumus menghitung koefisien, Anda perlu membuat dan menyelesaikan sistem persamaan dengan dua variabel. Untuk melakukannya, kita menghitung turunan parsial dari ekspresi F (a, b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2 terhadap a dan b dan menyamakannya dengan 0.
δ F (a , b) δ a = 0 δ F (a , b) δ b = 0 ⇔ - 2 ∑ i = 1 n (y i - (ax i + b)) x i = 0 - 2 ∑ i = 1 n ( y i - (a x i + b)) = 0 ⇔ a ∑ i = 1 n x i 2 + b ∑ i = 1 n x i = ∑ i = 1 n x i y i a ∑ i = 1 n x i + ∑ i = 1 n b = ∑ i = 1 n y i ⇔ a ∑ i = 1 n x i 2 + b ∑ i = 1 n x i = ∑ i = 1 n x i y i a ∑ i = 1 n x i + n b = ∑ i = 1 n y i
Untuk menyelesaikan sistem persamaan, Anda dapat menggunakan metode apa saja, misalnya substitusi atau metode Cramer. Oleh karena itu, kita harus mempunyai rumus yang dapat digunakan untuk menghitung koefisien menggunakan metode kuadrat terkecil.
n ∑ i = 1 n x i y i - ∑ i = 1 n x i ∑ i = 1 n y i n ∑ i = 1 n - ∑ i = 1 n x i 2 b = ∑ i = 1 n y i - a ∑ i = 1 n x i n
Kami telah menghitung nilai variabel di mana fungsinya
F (a , b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2 akan mengambil nilai minimum. Di paragraf ketiga kita akan membuktikan kenapa bisa persis seperti ini.
Ini adalah penerapan metode kuadrat terkecil dalam praktiknya. Rumusnya yang digunakan untuk mencari parameter a antara lain ∑ i = 1 n x i, ∑ i = 1 n y i, ∑ i = 1 n x i y i, ∑ i = 1 n x i 2, serta parameternya
n – ini menunjukkan jumlah data eksperimen. Kami menyarankan Anda untuk menghitung setiap jumlah secara terpisah. Nilai koefisien b dihitung segera setelah a.
Mari kita kembali ke contoh awal.
Contoh 1
Di sini kita mempunyai n sama dengan lima. Untuk memudahkan menghitung jumlah yang diperlukan yang termasuk dalam rumus koefisien, mari kita isi tabelnya.
| saya = 1 | saya=2 | saya=3 | saya=4 | saya=5 | ∑ saya = 1 5 | |
| x saya | 0 | 1 | 2 | 4 | 5 | 12 |
| kamu aku | 2 , 1 | 2 , 4 | 2 , 6 | 2 , 8 | 3 | 12 , 9 |
| x aku kamu aku | 0 | 2 , 4 | 5 , 2 | 11 , 2 | 15 | 33 , 8 |
| x saya 2 | 0 | 1 | 4 | 16 | 25 | 46 |
Larutan
Baris keempat memuat data yang diperoleh dengan mengalikan nilai dari baris kedua dengan nilai baris ketiga untuk setiap individu i. Baris kelima berisi data dari baris kedua, kuadrat. Kolom terakhir menunjukkan jumlah nilai masing-masing baris.
Mari kita gunakan metode kuadrat terkecil untuk menghitung koefisien a dan b yang kita perlukan. Untuk melakukan ini, gantikan nilai yang diperlukan dari kolom terakhir dan hitung jumlahnya:
n ∑ i = 1 n x i y i - ∑ i = 1 n x i ∑ i = 1 n y i n ∑ i = 1 n - ∑ i = 1 n x i 2 b = ∑ i = 1 n y i - a ∑ i = 1 n x i n ⇒ a = 5 33, 8 - 12 12, 9 5 46 - 12 2 b = 12, 9 - a 12 5 ⇒ a ≈ 0, 165 b ≈ 2, 184
Ternyata garis lurus aproksimasi yang diperlukan akan terlihat seperti y = 0, 165 x + 2, 184. Sekarang kita perlu menentukan garis mana yang lebih mendekati datanya - g (x) = x + 1 3 + 1 atau 0, 165 x + 2, 184. Mari kita perkirakan menggunakan metode kuadrat terkecil.
Untuk menghitung kesalahannya, kita perlu mencari jumlah simpangan kuadrat data dari garis lurus σ 1 = ∑ i = 1 n (y i - (ax i + b i)) 2 dan σ 2 = ∑ i = 1 n (y i - g (xi)) 2, nilai minimum akan sesuai dengan garis yang lebih sesuai.
σ 1 = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b i)) 2 = = ∑ i = 1 5 (y i - (0, 165 x i + 2, 184)) 2 ≈ 0, 019 σ 2 = ∑ i = 1 n (y i - g (xi)) 2 = = ∑ i = 1 5 (y i - (xi + 1 3 + 1)) 2 ≈ 0,096
Menjawab: sejak σ 1< σ 2 , то прямой, наилучшим образом аппроксимирующей исходные данные, будет
kamu = 0,165 x + 2,184.
Metode kuadrat terkecil ditunjukkan dengan jelas dalam ilustrasi grafis. Garis merah menandai garis lurus g(x) = x + 1 3 + 1, garis biru menandai y = 0, 165 x + 2, 184. Data asli ditunjukkan dengan titik merah muda.
Mari kita jelaskan mengapa perkiraan jenis ini diperlukan.
Mereka dapat digunakan dalam tugas-tugas yang memerlukan perataan data, serta tugas-tugas di mana data harus diinterpolasi atau diekstrapolasi. Misalnya, dalam soal yang dibahas di atas, seseorang dapat mencari nilai besaran y yang diamati pada x = 3 atau pada x = 6. Kami telah menyediakan artikel terpisah untuk contoh-contoh tersebut.
Bukti metode OLS
Agar fungsi tersebut mengambil nilai minimum ketika a dan b dihitung, maka pada suatu titik tertentu matriks berbentuk kuadrat dari diferensial fungsi berbentuk F (a, b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2 pasti positif. Mari tunjukkan kepada Anda bagaimana tampilannya.
Contoh 2
Kita mempunyai diferensial orde kedua dengan bentuk sebagai berikut:
d 2 F (a ; b) = δ 2 F (a ; b) δ a 2 d 2 a + 2 δ 2 F (a ; b) δ a δ b d a d b + δ 2 F (a ; b) δ b 2 d 2b
Larutan
δ 2 F (a ; b) δ a 2 = δ δ F (a ; b) δ a δ a = = δ - 2 ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) x i δ a = 2 ∑ i = 1 n (xi) 2 δ 2 F (a; b) δ a δ b = δ δ F (a; b) δ a δ b = = δ - 2 ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b) ) x i δ b = 2 ∑ i = 1 n x i δ 2 F (a ; b) δ b 2 = δ δ F (a ; b) δ b δ b = δ - 2 ∑ i = 1 n (y i - (ax i + b)) δ b = 2 ∑ i = 1 n (1) = 2 n
Dengan kata lain, kita dapat menuliskannya seperti ini: d 2 F (a ; b) = 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 d 2 a + 2 2 ∑ x i i = 1 n d a d b + (2 n) d 2 b.
Kita memperoleh matriks berbentuk kuadrat M = 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 2 ∑ i = 1 n x i 2 ∑ i = 1 n x i 2 n .
Dalam hal ini, nilai masing-masing elemen tidak akan berubah bergantung pada a dan b . Apakah matriks ini pasti positif? Untuk menjawab pertanyaan ini, mari kita periksa apakah minor sudutnya positif.
Kita menghitung minor sudut orde pertama: 2 ∑ i = 1 n (xi) 2 > 0 . Karena titik x i tidak berhimpitan, maka pertidaksamaannya sangat ketat. Kami akan mengingat hal ini dalam perhitungan selanjutnya.
Kami menghitung minor sudut orde kedua:
d e t (M) = 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 2 ∑ i = 1 n x i 2 ∑ i = 1 n x i 2 n = 4 n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2
Setelah itu, kita lanjutkan dengan membuktikan pertidaksamaan n ∑ i = 1 n (xi) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 > 0 dengan menggunakan induksi matematika.
- Mari kita periksa apakah pertidaksamaan ini valid untuk n sembarang. Mari kita ambil 2 dan hitung:
2 ∑ i = 1 2 (xi) 2 - ∑ i = 1 2 x i 2 = 2 x 1 2 + x 2 2 - x 1 + x 2 2 = = x 1 2 - 2 x 1 x 2 + x 2 2 = x 1 + x 2 2 > 0
Kami telah memperoleh persamaan yang benar (jika nilai x 1 dan x 2 tidak sama).
- Mari kita asumsikan bahwa pertidaksamaan ini berlaku untuk n, yaitu. n ∑ i = 1 n (xi) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 > 0 – benar.
- Sekarang kita akan membuktikan validitas untuk n + 1, yaitu. bahwa (n + 1) ∑ i = 1 n + 1 (xi) 2 - ∑ i = 1 n + 1 x i 2 > 0, jika n ∑ i = 1 n (xi) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 > 0 .
Kami menghitung:
(n + 1) ∑ i = 1 n + 1 (xi) 2 - ∑ i = 1 n + 1 x i 2 = = (n + 1) ∑ i = 1 n (xi) 2 + x n + 1 2 - ∑ i = 1 n x i + x n + 1 2 = = n ∑ i = 1 n (x i) 2 + n x n + 1 2 + ∑ i = 1 n (xi) 2 + x n + 1 2 - - ∑ i = 1 n x i 2 + 2 x n + 1 ∑ i = 1 n x i + x n + 1 2 = = ∑ i = 1 n (xi) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 + n x n + 1 2 - x n + 1 ∑ i = 1 n x i + ∑ i = 1 n (x i) 2 = = ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 + x n + 1 2 - 2 x n + 1 x 1 + x 1 2 + + x n + 1 2 - 2 x n + 1 x 2 + x 2 2 + . . . + x n + 1 2 - 2 x n + 1 x 1 + x n 2 = = n ∑ i = 1 n (xi) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 + + (x n + 1 - x 1) 2 + (x n + 1 - x 2) 2 + . . . + (x n - 1 - x n) 2 > 0
Ekspresi yang diapit kurung kurawal akan lebih besar dari 0 (berdasarkan asumsi kita pada langkah 2), dan suku-suku lainnya akan lebih besar dari 0, karena semuanya merupakan bilangan kuadrat. Kami telah membuktikan ketimpangan tersebut.
Menjawab: a dan b yang ditemukan akan sesuai dengan nilai terkecil dari fungsi F (a, b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2, yang berarti bahwa keduanya adalah parameter yang diperlukan dari metode kuadrat terkecil (LSM).
Jika Anda melihat kesalahan pada teks, sorot teks tersebut dan tekan Ctrl+Enter
- Pelajaran pengantar gratis;
- Sejumlah besar guru berpengalaman (pribumi dan berbahasa Rusia);
- Kursus BUKAN untuk jangka waktu tertentu (bulan, enam bulan, tahun), tetapi untuk jumlah pelajaran tertentu (5, 10, 20, 50);
- Lebih dari 10.000 pelanggan yang puas.
- Biaya satu pelajaran dengan guru berbahasa Rusia adalah dari 600 rubel, dengan penutur asli - dari 1500 rubel
Inti dari metode kuadrat terkecil adalah dalam menemukan parameter model tren yang paling menggambarkan kecenderungan perkembangan suatu fenomena acak dalam ruang atau waktu (tren adalah garis yang mencirikan kecenderungan perkembangan tersebut). Tugas metode kuadrat terkecil (LSM) adalah menemukan tidak hanya beberapa model tren, namun juga menemukan model terbaik atau optimal. Model ini akan optimal jika jumlah deviasi kuadrat antara nilai aktual yang diamati dan nilai tren yang dihitung adalah minimal (terkecil):
di mana adalah deviasi kuadrat antara nilai aktual yang diamati
dan nilai tren terhitung yang sesuai,
Nilai aktual (yang diamati) dari fenomena yang diteliti,
Nilai yang dihitung dari model tren,
Banyaknya pengamatan terhadap fenomena yang sedang dipelajari.
MNC jarang sekali digunakan sendirian. Biasanya, ini paling sering digunakan hanya sebagai teknik teknis yang diperlukan dalam studi korelasi. Harus diingat bahwa basis informasi OLS hanya dapat berupa rangkaian statistik yang dapat diandalkan, dan jumlah pengamatan tidak boleh kurang dari 4, jika tidak, prosedur pemulusan OLS dapat kehilangan akal sehat.
Toolkit MNC bermuara pada prosedur berikut:
Prosedur pertama. Ternyata apakah ada kecenderungan untuk mengubah atribut yang dihasilkan ketika argumen faktor yang dipilih berubah, atau dengan kata lain, apakah ada hubungan antara “ pada " Dan " X ».
Prosedur kedua. Ditentukan garis (lintasan) mana yang paling tepat menggambarkan atau mengkarakterisasi tren ini.
Prosedur ketiga.
Contoh. Katakanlah kita mempunyai informasi tentang hasil rata-rata bunga matahari di lahan yang diteliti (Tabel 9.1).
Tabel 9.1
|
Nomor observasi |
||||||||||
|
Produktivitas, c/ha |
Karena tingkat teknologi produksi bunga matahari di negara kita hampir tidak berubah selama 10 tahun terakhir, hal ini berarti bahwa fluktuasi hasil selama periode yang dianalisis sangat bergantung pada fluktuasi cuaca dan kondisi iklim. Apakah ini benar?
Prosedur OLS pertama. Hipotesis tentang adanya tren perubahan hasil bunga matahari tergantung pada perubahan cuaca dan kondisi iklim selama 10 tahun yang dianalisis diuji.
Dalam contoh ini, untuk " kamu " disarankan untuk mengambil hasil bunga matahari, dan untuk " X » – jumlah tahun observasi dalam periode yang dianalisis. Menguji hipotesis tentang adanya hubungan antara " X " Dan " kamu dapat dilakukan dengan dua cara yaitu secara manual dan menggunakan program komputer. Tentunya dengan tersedianya teknologi komputer, permasalahan tersebut dapat teratasi dengan sendirinya. Namun untuk lebih memahami alat MNC, disarankan untuk menguji hipotesis tentang adanya hubungan antara “ X " Dan " kamu » secara manual, ketika hanya ada pena dan kalkulator biasa. Dalam kasus seperti itu, hipotesis tentang adanya tren paling baik diperiksa secara visual dengan lokasi gambar grafis dari rangkaian dinamika yang dianalisis - bidang korelasi:
Bidang korelasi dalam contoh kita terletak di sekitar garis yang meningkat secara perlahan. Hal ini dengan sendirinya menunjukkan adanya tren tertentu dalam perubahan hasil bunga matahari. Tidak mungkin membicarakan adanya kecenderungan apa pun hanya jika bidang korelasi tampak seperti lingkaran, lingkaran, awan yang sangat vertikal atau horizontal, atau terdiri dari titik-titik yang tersebar secara kacau. Dalam semua kasus lainnya, hipotesis tentang adanya hubungan antara “ X " Dan " kamu ", dan melanjutkan penelitian.
Prosedur OLS kedua. Ditentukan garis (lintasan) mana yang paling tepat menggambarkan atau mengkarakterisasi tren perubahan hasil bunga matahari selama periode yang dianalisis.
Jika Anda memiliki teknologi komputer, pemilihan tren optimal terjadi secara otomatis. Dalam pemrosesan "manual", pemilihan fungsi optimal biasanya dilakukan secara visual - berdasarkan lokasi bidang korelasi. Artinya, berdasarkan jenis grafiknya, dipilih persamaan garis yang paling sesuai dengan tren empiris (lintasan sebenarnya).
Seperti diketahui, di alam terdapat berbagai macam ketergantungan fungsional, sehingga sangat sulit untuk menganalisis secara visual bahkan sebagian kecil saja. Untungnya, dalam praktik ekonomi riil, sebagian besar hubungan dapat digambarkan dengan cukup akurat baik dalam bentuk parabola, atau hiperbola, atau garis lurus. Dalam hal ini, dengan opsi “manual” untuk memilih fungsi terbaik, Anda dapat membatasi diri hanya pada tiga model ini.
|
Hiperbola: |
||
|
|
|
Parabola orde kedua: 
:
Sangat mudah untuk melihat bahwa dalam contoh kita, tren perubahan hasil bunga matahari selama 10 tahun yang dianalisis paling baik digambarkan dengan garis lurus, sehingga persamaan regresinya akan menjadi persamaan garis lurus.
Prosedur ketiga. Parameter persamaan regresi yang mencirikan garis ini dihitung, atau dengan kata lain ditentukan rumus analisis yang menjelaskan model terbaik kecenderungan.
Menemukan nilai parameter persamaan regresi, dalam kasus kami parameter dan , adalah inti dari OLS. Proses ini bermuara pada penyelesaian sistem persamaan normal.
(9.2)
Sistem persamaan ini dapat diselesaikan dengan cukup mudah dengan metode Gauss. Mari kita ingat bahwa sebagai hasil dari solusi, dalam contoh kita, nilai parameter dan ditemukan. Dengan demikian, persamaan regresi yang ditemukan akan berbentuk sebagai berikut: 
Jika suatu besaran fisis tertentu bergantung pada besaran lain, maka ketergantungan tersebut dapat dipelajari dengan mengukur y pada nilai x yang berbeda. Dari hasil pengukuran diperoleh sejumlah nilai:
x 1, x 2, ..., x i, ..., x n;
kamu 1 , kamu 2 , ..., kamu aku , ... , kamu n .
Berdasarkan data percobaan tersebut, dimungkinkan untuk membuat grafik ketergantungan y = ƒ(x). Kurva yang dihasilkan memungkinkan untuk menilai bentuk fungsi ƒ(x). Namun, koefisien konstanta yang masuk ke dalam fungsi ini masih belum diketahui. Mereka dapat ditentukan dengan menggunakan metode kuadrat terkecil. Titik percobaan biasanya tidak terletak tepat pada kurva. Metode kuadrat terkecil mensyaratkan jumlah kuadrat simpangan titik-titik percobaan dari kurva, yaitu.
2 adalah yang terkecil.
Dalam praktiknya, metode ini paling sering (dan paling sederhana) digunakan dalam kasus hubungan linier, yaitu. Kapan kamu = kx atau
kamu = a + bx.
Ketergantungan linier tersebar luas dalam fisika. Dan meskipun hubungannya nonlinier, mereka biasanya mencoba membuat grafik untuk mendapatkan garis lurus. Misalnya, jika indeks bias kaca n diasumsikan berhubungan dengan panjang gelombang cahaya λ melalui hubungan n = a + b/λ 2, maka ketergantungan n pada λ -2 diplot pada grafik. Dalam praktiknya, metode ini paling sering (dan paling sederhana) digunakan dalam kasus hubungan linier, yaitu. Kapan(garis lurus yang melalui titik asal). Mari kita buat nilai φ dari jumlah kuadrat simpangan titik-titik kita dari garis lurus
Nilai φ selalu positif dan semakin kecil semakin dekat titik kita ke garis lurus. Metode kuadrat terkecil menyatakan bahwa nilai k harus dipilih sedemikian rupa sehingga φ mempunyai nilai minimum
atau
(19)
Perhitungan menunjukkan bahwa error root-mean-square dalam menentukan nilai k adalah sama dengan
, (20)
di mana n adalah jumlah pengukuran.
Sekarang mari kita pertimbangkan kasus yang sedikit lebih sulit, ketika poin harus memenuhi rumus kamu = a + bx(garis lurus yang tidak melalui titik asal).
Tugasnya adalah mencari nilai terbaik a dan b dari himpunan nilai x i, y i yang tersedia.
Mari kita buat kembali bentuk kuadrat φ, sama dengan jumlah simpangan kuadrat titik x i, y i dari garis lurus
dan carilah nilai a dan b yang mempunyai nilai minimum φ
;
.
Solusi bersama dari persamaan ini memberikan
(21)
Kesalahan akar rata-rata kuadrat penentuan a dan b adalah sama
(23)
. (24)
Saat memproses hasil pengukuran menggunakan metode ini, akan lebih mudah untuk meringkas semua data dalam sebuah tabel di mana semua jumlah yang termasuk dalam rumus (19)(24) telah dihitung sebelumnya. Bentuk tabel tersebut diberikan pada contoh di bawah ini.
Contoh 1. Persamaan dasar dinamika dipelajari gerakan rotasiε = M/J (garis yang melalui titik asal). Pada nilai momen M yang berbeda, percepatan sudut suatu benda diukur. Hal ini diperlukan untuk menentukan momen inersia suatu benda. Hasil pengukuran momen gaya dan percepatan sudut tercantum pada kolom kedua dan ketiga tabel 5.
Tabel 5
| N | M, Nm | , s -1 | M 2 | Mε | ε - km | (ε - km) 2 |
| 1 | 1.44 | 0.52 | 2.0736 | 0.7488 | 0.039432 | 0.001555 |
| 2 | 3.12 | 1.06 | 9.7344 | 3.3072 | 0.018768 | 0.000352 |
| 3 | 4.59 | 1.45 | 21.0681 | 6.6555 | -0.08181 | 0.006693 |
| 4 | 5.90 | 1.92 | 34.81 | 11.328 | -0.049 | 0.002401 |
| 5 | 7.45 | 2.56 | 55.5025 | 19.072 | 0.073725 | 0.005435 |
| ∑ | | | 123.1886 | 41.1115 | | 0.016436 |
Dengan menggunakan rumus (19) kita menentukan:
.
Untuk menentukan akar rata-rata kesalahan kuadrat, kita menggunakan rumus (20)
0.005775kg-1 · M -2 .
Menurut rumus (18) yang kita miliki
S J = (2,996 0,005775)/0,3337 = 0,05185 kg m2.
Setelah menetapkan reliabilitas P = 0,95, dengan menggunakan tabel koefisien Student untuk n = 5, kita menemukan t = 2,78 dan menentukan kesalahan absolut J = 2,78 0,05185 = 0,1441 ≈ 0,2 kg m2.
Mari kita tulis hasilnya dalam bentuk:
J = (3,0 ± 0,2) kg m2;
Contoh 2. Mari kita hitung koefisien suhu hambatan logam menggunakan metode kuadrat terkecil. Resistansi bergantung secara linier pada suhu
R t = R 0 (1 + α t°) = R 0 + R 0 α t°.
Suku bebas menentukan hambatan R 0 pada suhu 0 ° C, dan koefisien kemiringan adalah hasil kali koefisien suhu dan hambatan R 0 .
Hasil pengukuran dan perhitungan disajikan pada tabel ( lihat tabel 6).
Tabel 6
| N | t°, s | r, Ohm | t-¯t | (t-¯t) 2 | (t-¯t)r | r - bt - a | (r - bt - a) 2 .10 -6 |
| 1 | 23 | 1.242 | -62.8333 | 3948.028 | -78.039 | 0.007673 | 58.8722 |
| 2 | 59 | 1.326 | -26.8333 | 720.0278 | -35.581 | -0.00353 | 12.4959 |
| 3 | 84 | 1.386 | -1.83333 | 3.361111 | -2.541 | -0.00965 | 93.1506 |
| 4 | 96 | 1.417 | 10.16667 | 103.3611 | 14.40617 | -0.01039 | 107.898 |
| 5 | 120 | 1.512 | 34.16667 | 1167.361 | 51.66 | 0.021141 | 446.932 |
| 6 | 133 | 1.520 | 47.16667 | 2224.694 | 71.69333 | -0.00524 | 27.4556 |
| ∑ | 515 | 8.403 | | 8166.833 | 21.5985 | | 746.804 |
| ∑/n | 85.83333 | 1.4005 | | | | | |
Dengan menggunakan rumus (21), (22) kita tentukan
R 0 = ¯ R- α R 0 ¯ t = 1,4005 - 0,002645 85,83333 = 1,1735 Ohm.
Mari kita temukan kesalahan dalam definisi α. Karena , maka menurut rumus (18) kita mempunyai:
.
Menggunakan rumus (23), (24) yang kita miliki
;
0.014126 Ohm.
Setelah menetapkan reliabilitas ke P = 0,95, dengan menggunakan tabel koefisien Student untuk n = 6, kita menemukan t = 2,57 dan menentukan kesalahan absolut Δα = 2,57 0,000132 = 0,000338 derajat -1.
= (23 ± 4) 10 -4 memanggil-1 pada P = 0,95.
Contoh 3. Jari-jari kelengkungan lensa harus ditentukan menggunakan cincin Newton. Jari-jari cincin Newton r m diukur dan jumlah cincin m ditentukan. Jari-jari cincin Newton berhubungan dengan jari-jari kelengkungan lensa R dan nomor cincin melalui persamaan
r 2 m = mλR - 2d 0 R,
dimana d 0 ketebalan celah antara lensa dan pelat bidang sejajar (atau deformasi lensa),
λ panjang gelombang cahaya datang.
= (600 ± 6) nm;
r 2 m = kamu;
m = x;
λR = b;
-2d 0 R = a,
maka persamaannya akan berbentuk kamu = a + bx.
.Hasil pengukuran dan perhitungan dimasukkan ke dalam tabel 7.
Tabel 7
| N | x = m | kamu = r 2, 10 -2 mm 2 | m -¯m | (m -¯m) 2 | (m -¯ m)y | y - bx - a, 10 -4 | (y - bx - a) 2 , 10 -6 |
| 1 | 1 | 6.101 | -2.5 | 6.25 | -0.152525 | 12.01 | 1.44229 |
| 2 | 2 | 11.834 | -1.5 | 2.25 | -0.17751 | -9.6 | 0.930766 |
| 3 | 3 | 17.808 | -0.5 | 0.25 | -0.08904 | -7.2 | 0.519086 |
| 4 | 4 | 23.814 | 0.5 | 0.25 | 0.11907 | -1.6 | 0.0243955 |
| 5 | 5 | 29.812 | 1.5 | 2.25 | 0.44718 | 3.28 | 0.107646 |
| 6 | 6 | 35.760 | 2.5 | 6.25 | 0.894 | 3.12 | 0.0975819 |
| ∑ | 21 | 125.129 | | 17.5 | 1.041175 | | 3.12176 |
| ∑/n | 3.5 | 20.8548333 | | | | | |