Quando si elaborano i risultati delle misurazioni indirette di una grandezza fisica che è funzionalmente correlata alle quantità fisiche A, B e C misurate direttamente, determinare innanzitutto l'errore relativo della misurazione indiretta e = DХ/Х inc, utilizzando le formule fornite in la tabella (senza prove).
L'errore assoluto è determinato dalla formula DX=X pr *e,
dove e è espresso come decimale anziché come percentuale.
Il risultato finale viene registrato come nel caso delle misurazioni dirette
| Tipo di funzione | Formula |
| X=A+B+C | |
| X=A-B | |
| X=A*B*C | |
| X=A n | |
| X=A/B | |
| X= |
(+ http://fiz.1september.ru/2001/16/no16_01.htm utile) Come effettuare correttamente le misurazioni http://www.fizika.ru/fakultat/index.php?theme=01&id=1220
Esempio: Calcoliamo l'errore nella misurazione del coefficiente di attrito utilizzando un dinamometro. L'esperimento consiste nel tirare uniformemente un blocco su una superficie orizzontale e misurare la forza applicata: è uguale alla forza di attrito radente.
Utilizzando un dinamometro pesiamo il blocco con pesi: 1,8 N. F tr = 0,6 N
µ=0,33. L'errore strumentale del dinamometro (lo troviamo dalla tabella) è Δ e = 0,05 N, Errore di lettura (metà del valore della divisione)
Δo =0,05N. L'errore assoluto nella misurazione del peso e della forza di attrito è 0,1 N.
Errore di misura relativo (5a riga della tabella)
Pertanto, l'errore assoluto della misurazione indiretta μ è 0,22*0,33=0,074
Risposta:
Misurare una grandezza fisica significa confrontarla con un'altra grandezza omogenea presa come unità di misura. La misurazione può essere effettuata utilizzando:
1. misure, che sono esempi di unità di misura (metro, peso, recipiente da un litro, ecc.),
2. strumenti di misura (amperometro, manometro, ecc.),
3. impianti di misura, intesi come l'insieme delle misure, degli strumenti di misura e degli elementi ausiliari.
Le misurazioni possono essere dirette o indirette. Nelle misurazioni dirette una grandezza fisica viene misurata direttamente. Le misurazioni dirette sono, ad esempio, la misurazione della lunghezza con un righello, del tempo con un cronometro e della corrente con un amperometro.
Nelle misurazioni indirette Misurano direttamente non la quantità il cui valore deve essere scoperto, ma altre quantità con le quali la quantità desiderata è legata da una certa relazione matematica. Ad esempio, la densità di un corpo viene determinata misurando la sua massa e il suo volume, mentre la resistenza viene determinata misurando la sua corrente e tensione.
A causa dell'imperfezione delle misure e degli strumenti di misurazione, nonché dei nostri sensi, le misurazioni non possono essere effettuate con precisione, ad es. Ogni misurazione fornisce solo un risultato approssimativo. Inoltre, spesso la ragione della deviazione dei risultati della misurazione è la natura della quantità misurata stessa. Ad esempio, la temperatura misurata da un termometro o da una termocoppia in un determinato punto di un forno varia entro determinati limiti a causa della convezione e della conduzione. Una misura per valutare l'accuratezza del risultato di una misurazione è errore di misura (errore di misura).
Per valutare l'accuratezza, viene indicato l'errore assoluto o l'errore relativo di misurazione. Errore assoluto espresso in unità della quantità misurata. Ad esempio, la distanza percorsa da un corpo viene misurata con un errore assoluto. L'errore di misura relativo è il rapporto tra l'errore assoluto e il valore della quantità misurata. Nell'esempio fornito, l'errore relativo è . Minore è l'errore di misurazione, maggiore è la sua precisione.
Secondo le fonti della loro origine, gli errori di misurazione sono suddivisi in sistematici, casuali e grossolani (miss).
1. Errori sistematici- errori di misurazione, il cui valore rimane costante durante misurazioni ripetute effettuate con lo stesso metodo, utilizzando gli stessi strumenti di misurazione. Le cause degli errori sistematici sono:
· malfunzionamenti, imprecisioni degli strumenti di misura
· illegalità, imprecisione della tecnica di misurazione utilizzata
Un esempio di errori sistematici potrebbe essere la misurazione della temperatura con un termometro con il punto zero spostato, la misurazione della corrente con un amperometro calibrato in modo errato o la pesatura di un corpo su una bilancia utilizzando pesi senza tenere conto della forza di galleggiamento di Archimede.
Per eliminare o ridurre gli errori sistematici, è necessario controllare attentamente gli strumenti di misura, misurare gli stessi valori con metodi diversi e introdurre correzioni quando gli errori sono noti (correzioni per la forza di galleggiamento, correzioni per le letture del termometro).
2. Errori grossolani (mancati)- un eccesso significativo dell'errore atteso nelle condizioni di misurazione date. Gli errori compaiono come risultato di una registrazione errata delle letture dello strumento, di letture errate sullo strumento o di errori nei calcoli durante le misurazioni indirette. La fonte degli errori è la disattenzione dello sperimentatore. Il modo per eliminare questi errori è l'accuratezza dello sperimentatore, evitando di riscrivere i protocolli di misurazione.
3. Errori casuali- errori, la cui entità cambia in modo casuale durante misurazioni ripetute della stessa quantità utilizzando lo stesso metodo utilizzando gli stessi strumenti. La fonte degli errori casuali è l’irriproducibilità incontrollata delle condizioni di misurazione. Ad esempio, durante una misurazione, la temperatura, l’umidità, la pressione atmosferica, la tensione della rete elettrica e lo stato degli organi di senso dello sperimentatore possono cambiare in modo incontrollato. Non si possono escludere errori casuali. Con misurazioni ripetute, gli errori casuali obbediscono a leggi statistiche e la loro influenza può essere presa in considerazione.
Qualsiasi misurazione viene sempre effettuata con alcuni errori associati alla precisione limitata degli strumenti di misurazione, alla scelta errata e all'errore del metodo di misurazione, alla fisiologia dello sperimentatore, alle caratteristiche degli oggetti misurati, ai cambiamenti nelle condizioni di misurazione, ecc. Pertanto, il compito di misurazione include la ricerca non solo del valore stesso, ma anche dell'errore di misurazione, ad es. l'intervallo in cui molto probabilmente si trova il vero valore della quantità misurata. Ad esempio, misurando un periodo di tempo t con un cronometro con un valore di divisione di 0,2 s, possiamo dire che il suo valore vero è nell'intervallo da s a 
Con. Pertanto, il valore misurato contiene sempre qualche errore 
, Dove 
e X sono, rispettivamente, i valori veri e misurati della grandezza in esame. Grandezza 
chiamato errore assoluto(errore) di misurazione e l'espressione 
, che caratterizza la precisione della misurazione, viene chiamato errore relativo.
È del tutto naturale per lo sperimentatore sforzarsi di effettuare ogni misurazione con la massima precisione ottenibile, ma questo approccio non è sempre consigliabile. Quanto più accuratamente vorremo misurare questa o quella grandezza, tanto più complessi saranno gli strumenti che dovremo utilizzare, tanto più tempo richiederanno queste misurazioni. Pertanto, l'accuratezza del risultato finale deve corrispondere allo scopo dell'esperimento. La teoria degli errori fornisce raccomandazioni su come dovrebbero essere effettuate le misurazioni e su come elaborare i risultati in modo che l'errore sia minimo.
Tutti gli errori che si verificano durante le misurazioni sono generalmente divisi in tre tipi: errori sistematici, casuali e mancati o grossolani.
Errori sistematici a causa della limitata precisione di fabbricazione dei dispositivi (errori strumentali), carenze del metodo di misurazione scelto, imprecisione della formula di calcolo, installazione errata del dispositivo, ecc. Pertanto, gli errori sistematici sono causati da fattori che agiscono nello stesso modo quando le stesse misurazioni vengono ripetute più volte. L'entità di questo errore si ripete sistematicamente o cambia secondo una determinata legge. Alcuni errori sistematici possono essere eliminati (in pratica questo è sempre facile da ottenere) modificando il metodo di misurazione, introducendo correzioni nelle letture dello strumento e tenendo conto della costante influenza di fattori esterni.
Sebbene l'errore sistematico (strumentale) nelle misurazioni ripetute dia una deviazione del valore misurato dal valore reale in una direzione, non sappiamo mai quale direzione. Pertanto l'errore strumentale si scrive con doppio segno
Errori casuali sono causati da un gran numero di cause casuali (cambiamenti di temperatura, pressione, scuotimento di edifici, ecc.), i cui effetti su ciascuna misurazione sono diversi e non possono essere presi in considerazione in anticipo. Errori casuali si verificano anche a causa dell’imperfezione dei sensi dello sperimentatore. Gli errori casuali includono anche errori causati dalle proprietà dell'oggetto misurato.
È impossibile escludere errori casuali nelle singole misurazioni, ma è possibile ridurre l'influenza di questi errori sul risultato finale eseguendo misurazioni multiple. Se l'errore casuale risulta essere significativamente inferiore a quello strumentale (sistematico), non ha senso ridurre ulteriormente il valore dell'errore casuale aumentando il numero di misurazioni. Se l'errore casuale è maggiore dell'errore strumentale, allora il numero di misurazioni dovrebbe essere aumentato per ridurre il valore dell'errore casuale e renderlo inferiore o dello stesso ordine di grandezza dell'errore strumentale.
Errori o sviste- si tratta di letture errate sul dispositivo, registrazione errata della lettura, ecc. Di norma, gli errori causati da questi motivi sono chiaramente visibili, poiché le letture corrispondenti differiscono nettamente dalle altre letture. Gli errori devono essere eliminati mediante misurazioni di controllo. Pertanto, l'ampiezza dell'intervallo in cui si trovano i valori reali delle quantità misurate sarà determinata solo da errori casuali e sistematici.
2 . Stima dell'errore sistematico (strumentale).
Per misurazioni dirette il valore della grandezza misurata viene conteggiato direttamente sulla scala del misuratore. L'errore nella lettura può raggiungere diversi decimi di divisione della scala. Tipicamente, in tali misurazioni, l'errore sistematico è considerato pari alla metà della divisione della scala dello strumento di misura. Ad esempio, quando si misura con un calibro con un valore di divisione di 0,05 mm, il valore dell'errore di misurazione dello strumento viene considerato pari a 0,025 mm.
Gli strumenti di misura digitali danno il valore delle grandezze che misurano con un errore pari al valore di un'unità dell'ultima cifra della scala dello strumento. Pertanto, se un voltmetro digitale mostra un valore di 20,45 mV, l'errore di misurazione assoluto è 
mV.
Errori sistematici si verificano anche quando si utilizzano valori costanti determinati dalle tabelle. In questi casi si assume che l’errore sia pari alla metà dell’ultima cifra significativa. Ad esempio, se nella tabella il valore della densità dell'acciaio è indicato come 7,9∙10 3 kg/m 3, allora l'errore assoluto in questo caso è pari a 
kg/m3.
Alcune caratteristiche nel calcolo degli errori strumentali degli strumenti di misura elettrici saranno discusse di seguito.
Quando si determina l'errore sistematico (strumentale) delle misurazioni indirette valore funzionale 
formula utilizzata
, (1)
Dove 
- errori strumentali di misure dirette della grandezza 
, 
- derivate parziali di una funzione rispetto ad una variabile.
Ad esempio, otteniamo una formula per calcolare l'errore sistematico quando si misura il volume di un cilindro. La formula per calcolare il volume di un cilindro è
.
Derivate parziali rispetto a variabili D E H sarà uguale
, 
.
Pertanto, la formula per determinare l'errore sistematico assoluto quando si misura il volume di un cilindro secondo (2...) ha la seguente forma
,
Dove 
E 
errori strumentali nella misurazione del diametro e dell'altezza del cilindro
3. Stima dell'errore casuale.
Intervallo di confidenza e probabilità di confidenza
Per la stragrande maggioranza delle misurazioni semplici, la cosiddetta legge normale degli errori casuali è soddisfatta abbastanza bene ( legge di Gauss), derivato dalle seguenti disposizioni empiriche.
gli errori di misura possono assumere una serie continua di valori;
con un gran numero di misurazioni, errori della stessa entità, ma di segno diverso, si verificano altrettanto spesso,
Maggiore è l’errore casuale, minore è la probabilità che si verifichi.
Il grafico della normale legge di distribuzione gaussiana è presentato in Fig. 1. L'equazione della curva è
, (2)
Dove 
- funzione di distribuzione degli errori casuali (errori), che caratterizza la probabilità che si verifichi un errore 
, σ – errore quadratico medio.
La quantità σ non è una variabile casuale e caratterizza il processo di misurazione. Se le condizioni di misurazione non cambiano, σ rimane un valore costante. Il quadrato di questa quantità si chiama dispersione della misura. Minore è la dispersione, minore è la diffusione dei singoli valori e maggiore è la precisione della misurazione.
Il valore esatto dell'errore quadratico medio σ, così come il valore reale del valore misurato, non sono noti. Esiste una cosiddetta stima statistica di questo parametro, secondo la quale l'errore quadratico medio è uguale all'errore quadratico medio della media aritmetica 
. Il cui valore è determinato dalla formula
, (3)
Dove 
- risultato io esima dimensione; 
- media aritmetica dei valori ottenuti; N
– numero di misurazioni.
Maggiore è il numero di dimensioni, più piccolo e vicino si avvicina a σ. Se il valore reale della quantità misurata è μ, il suo valore medio aritmetico ottenuto come risultato delle misurazioni è e l'errore assoluto casuale è , il risultato della misurazione verrà scritto nella forma 
.
Intervallo di valori da 
A 
, che contiene il valore vero della quantità misurata μ, viene chiamato intervallo di confidenza. Trattandosi di una variabile casuale, il valore vero rientra nell'intervallo di confidenza con probabilità α, che viene chiamato probabilità di confidenza, O affidabilità misurazioni. Questo valore è numericamente uguale all'area del trapezio curvo ombreggiato. (vedi foto)
Tutto questo è vero per un numero sufficientemente elevato di misure, quando σ è vicino. Per trovare l'intervallo di confidenza e la probabilità di confidenza per un piccolo numero di misurazioni, di cui ci occupiamo nel corso del lavoro di laboratorio, utilizziamo Distribuzione di probabilità degli studenti. Questa è la distribuzione di probabilità della variabile casuale 
, chiamato Coefficiente dello studente, fornisce il valore dell'intervallo di confidenza in frazioni dell'errore quadratico medio della media aritmetica.
. (4)
La distribuzione di probabilità di questa quantità non dipende da σ 2, ma dipende in modo significativo dal numero di esperimenti N. Con un numero crescente di esperimenti N la distribuzione di Student tende alla distribuzione gaussiana.
La funzione di distribuzione è tabellata (Tabella 1). Il valore del coefficiente di Student si trova all'intersezione della linea corrispondente al numero di misurazioni N e la colonna corrispondente alla probabilità di confidenza α
Tabella 1.
Utilizzando i dati della tabella, puoi:
determinare l'intervallo di confidenza, data una certa probabilità;
selezionare un intervallo di confidenza e determinare la probabilità di confidenza.
Per le misurazioni indirette, l'errore quadratico medio del valore medio aritmetico della funzione viene calcolato utilizzando la formula
. (5)
L'intervallo di confidenza e la probabilità di confidenza sono determinati come nel caso delle misurazioni dirette.
Stima dell'errore totale di misura. Registra il risultato finale.
L'errore totale del risultato della misurazione del valore X lo definiremo come il valore quadratico medio degli errori sistematici e casuali
, (6)
Dove δх – errore dello strumento, Δ X– errore casuale.
X può essere una quantità misurata direttamente o indirettamente.
, α=…, E=… (7)
Va tenuto presente che le formule stesse della teoria degli errori sono valide per un gran numero di misurazioni. Pertanto, il valore dell'errore casuale, e quindi dell'errore totale, è determinato su piccolo N con un grosso errore. Quando si calcola Δ X con il numero di misurazioni 
Si consiglia di limitarsi ad una cifra significativa se è maggiore di 3 e a due se la prima cifra significativa è minore di 3. Ad esempio, se Δ X= 0,042, quindi scartiamo 2 e scriviamo Δ X=0,04 e se Δ X=0,123, allora scriviamo Δ X=0,12.
Il numero di cifre del risultato e l'errore totale devono essere gli stessi. Pertanto, la media aritmetica dell'errore dovrebbe essere la stessa. Pertanto, la media aritmetica viene prima calcolata una cifra in più rispetto alla misurazione e, quando si registra il risultato, il suo valore viene affinato al numero di cifre dell'errore totale.
4. Metodologia per il calcolo degli errori di misura.
Errori di misurazioni dirette
Quando si elaborano i risultati delle misurazioni dirette, si consiglia di adottare il seguente ordine di operazioni.
. (8)
.
.
Viene determinato l'errore totale
Viene stimato l'errore relativo del risultato della misurazione
.
Il risultato finale è scritto nel modulo
, con α=… E=…%.
5. Errore delle misurazioni indirette
Quando si stima il valore reale di una quantità misurata indirettamente, che è funzione di altre quantità indipendenti 
, puoi utilizzare due metodi.
Primo modo utilizzato se il valore sì determinato in diverse condizioni sperimentali. In questo caso, per ciascuno dei valori viene calcolato 
, e quindi viene determinata la media aritmetica di tutti i valori sì io
. (9)
L'errore sistematico (strumentale) si trova sulla base degli errori strumentali noti di tutte le misurazioni utilizzando la formula. L'errore casuale in questo caso è definito come errore di misurazione diretta.
Secondo modo si applica se questa funzione sì determinato più volte con le stesse misurazioni. In questo caso il valore viene calcolato utilizzando valori medi. Nella nostra pratica di laboratorio, viene utilizzato più spesso il secondo metodo per determinare una quantità misurata indirettamente sì. L'errore sistematico (strumentale), come nel primo metodo, si trova sulla base degli errori strumentali noti di tutte le misurazioni utilizzando la formula
Per trovare l'errore casuale di una misurazione indiretta, vengono prima calcolati gli errori quadratici medi della media aritmetica delle singole misurazioni. Quindi si trova l'errore quadratico medio del valore sì. L'impostazione della probabilità di confidenza α, la determinazione del coefficiente di Student e la determinazione degli errori casuali e totali vengono eseguiti come nel caso delle misurazioni dirette. Allo stesso modo, il risultato di tutti i calcoli viene presentato nel modulo
, con α=… E=…%.
6. Esempio di progettazione del lavoro di laboratorio
Lavoro di laboratorio n. 1
DETERMINAZIONE DEL VOLUME DEL CILINDRO
Accessori: un calibro con un valore di divisione di 0,05 mm, un micrometro con un valore di divisione di 0,01 mm, un corpo cilindrico.
Scopo del lavoro: familiarità con le misurazioni fisiche più semplici, determinazione del volume di un cilindro, calcolo degli errori nelle misurazioni dirette e indirette.
Ordine di lavoro
Misurare il diametro del cilindro almeno 5 volte con un calibro e la sua altezza con un micrometro.
Formula di calcolo per calcolare il volume di un cilindro
dove d è il diametro del cilindro; h – altezza.
Risultati della misurazione
Tabella 2.
Misura n. | ||||||
| ; |
; 
.
; E = 0,5%.
, E = 0,5%.
Errori nelle misure di grandezze fisiche
1.Introduzione (misurazione ed errore di misurazione)
2.Errori casuali e sistematici
3.Errori assoluti e relativi
4. Errori degli strumenti di misura
5. Classe di precisione degli strumenti di misura elettrici
6.Errore di lettura
7.Errore assoluto totale delle misurazioni dirette
8.Registrazione del risultato finale della misurazione diretta
9. Errori di misurazioni indirette
10.Esempio
1. Introduzione (misurazione ed errore di misurazione)
La fisica come scienza è nata più di 300 anni fa, quando Galileo creò essenzialmente lo studio scientifico dei fenomeni fisici: le leggi fisiche vengono stabilite e testate sperimentalmente accumulando e confrontando dati sperimentali, rappresentati da un insieme di numeri, le leggi vengono formulate nel linguaggio della matematica, cioè utilizzando formule che collegano valori numerici di quantità fisiche mediante dipendenza funzionale. Pertanto, la fisica è una scienza sperimentale, la fisica è una scienza quantitativa.
Facciamo conoscenza con alcune caratteristiche di qualsiasi misurazione.
La misurazione consiste nel trovare sperimentalmente il valore numerico di una grandezza fisica utilizzando strumenti di misura (righello, voltmetro, orologio, ecc.).
Le misurazioni possono essere dirette o indirette.
La misurazione diretta consiste nel trovare il valore numerico di una quantità fisica direttamente mediante misurazione. Ad esempio, la lunghezza - con un righello, la pressione atmosferica - con un barometro.
La misurazione indiretta consiste nel trovare il valore numerico di una quantità fisica utilizzando una formula che collega la quantità desiderata con altre quantità determinate mediante misurazioni dirette. Ad esempio, la resistenza di un conduttore è determinata dalla formula R=U/I, dove U e I sono misurati da strumenti di misura elettrici.
Consideriamo un esempio di misurazione.
Misurare la lunghezza della barra con un righello (il valore della divisione è 1 mm). Possiamo solo dire che la lunghezza della barra è compresa tra 22 e 23 mm. La larghezza dell'intervallo “sconosciuto” è 1 mm, ovvero pari al prezzo di divisione. La sostituzione del righello con un dispositivo più sensibile, come un calibro, ridurrà questo intervallo, con conseguente maggiore precisione della misurazione. Nel nostro esempio, la precisione della misurazione non supera 1 mm.
Pertanto, le misurazioni non possono mai essere effettuate in modo assolutamente accurato. Il risultato di qualsiasi misurazione è approssimativo. L'incertezza nella misurazione è caratterizzata dall'errore: la deviazione del valore misurato di una quantità fisica dal suo valore reale.
Elenchiamo alcuni dei motivi che portano agli errori.
1. Precisione di fabbricazione limitata degli strumenti di misura.
2. Influenza sulla misurazione delle condizioni esterne (cambiamenti di temperatura, fluttuazioni di tensione...).
3. Azioni dello sperimentatore (ritardo nell'avvio del cronometro, diverse posizioni degli occhi...).
4. La natura approssimativa delle leggi utilizzate per trovare le quantità misurate.
Le cause degli errori elencate non possono essere eliminate, sebbene possano essere ridotte al minimo. Per stabilire l'affidabilità delle conclusioni ottenute come risultato della ricerca scientifica, esistono metodi per valutare questi errori.
2. Errori casuali e sistematici
Gli errori che si verificano durante le misurazioni sono suddivisi in sistematici e casuali.
Gli errori sistematici sono errori corrispondenti alla deviazione del valore misurato dal valore reale di una grandezza fisica, sempre in una direzione (aumento o diminuzione). Con misurazioni ripetute, l'errore rimane lo stesso.
Ragioni degli errori sistematici:
1) non conformità degli strumenti di misura alla norma;
2) installazione errata degli strumenti di misura (inclinazione, squilibrio);
3) discrepanza tra gli indicatori iniziali degli strumenti e zero e ignorare le correzioni che emergono in relazione a ciò;
4) discrepanza tra l'oggetto misurato e l'ipotesi sulle sue proprietà (presenza di vuoti, ecc.).
Gli errori casuali sono errori che cambiano il loro valore numerico in modo imprevedibile. Tali errori sono causati da un gran numero di ragioni incontrollabili che influenzano il processo di misurazione (irregolarità sulla superficie dell'oggetto, vento che soffia, sbalzi di tensione, ecc.). L'influenza degli errori casuali può essere ridotta ripetendo l'esperimento molte volte.
3. Errori assoluti e relativi
Per quantificare la qualità delle misurazioni vengono introdotti i concetti di errori di misurazione assoluti e relativi.
Come già accennato, qualsiasi misurazione fornisce solo un valore approssimativo di una quantità fisica, ma è possibile specificare un intervallo che contenga il suo valore reale:
Apr - D A< А ист < А пр + D А
Valore D A è chiamato errore assoluto nella misurazione della quantità A. L'errore assoluto è espresso in unità della quantità misurata. L'errore assoluto è uguale al modulo della massima deviazione possibile del valore di una grandezza fisica dal valore misurato. E pr è il valore di una grandezza fisica ottenuto sperimentalmente; se la misurazione è stata effettuata ripetutamente, allora la media aritmetica di queste misurazioni.
Ma per valutare la qualità della misurazione è necessario determinare l'errore relativo e. e = D A/A pr oppure e= (D A/A pr)*100%.
Se durante una misurazione si ottiene un errore relativo superiore al 10%, si dice che è stata effettuata solo una stima del valore misurato. Nei laboratori dei laboratori di fisica si consiglia di effettuare misurazioni con un errore relativo fino al 10%. Nei laboratori scientifici, alcune misurazioni precise (ad esempio, la determinazione della lunghezza d'onda della luce) vengono eseguite con una precisione di milionesimi di punto percentuale.
4. Errori degli strumenti di misura
Questi errori sono anche chiamati strumentali o strumentali. Sono determinati dalla progettazione del dispositivo di misurazione, dall'accuratezza della sua fabbricazione e calibrazione. Di solito si accontentano degli errori strumentali consentiti riportati dal produttore nel passaporto di questo dispositivo. Questi errori consentiti sono regolati da GOST. Ciò vale anche per gli standard. Di solito viene indicato l'errore strumentale assoluto D e A.
Se non sono disponibili informazioni sull'errore consentito (ad esempio con un righello), è possibile prendere come errore metà del valore della divisione.
Durante la pesatura, l'errore strumentale assoluto è costituito dagli errori strumentali della bilancia e dei pesi. La tabella mostra gli errori consentiti più comuni
strumenti di misura incontrati negli esperimenti scolastici.
|
Strumenti di misurazione |
Limite di misurazione |
Prezzo della divisione |
Errore consentito |
|
sovrano studentesco |
|||
|
righello dimostrativo |
|||
|
nastro di misurazione |
|||
|
bicchiere |
|||
|
pesa 10,20, 50 mg |
|||
|
pesa 100.200 mg |
|||
|
pesa 500 mg |
|||
|
pinze |
|||
|
micrometro |
|||
|
dinamometro |
|||
|
scale di allenamento |
|||
|
Cronometro |
1 secondo in 30 minuti |
||
|
Barometro aneroide |
720-780 mmHg. |
1mmHg |
3mmHg |
|
termometro da laboratorio |
0-100 gradi C |
||
|
amperometro scolastico |
|||
|
voltmetro scolastico |
5. Classe di precisione degli strumenti di misura elettrici
Gli strumenti di misura elettrici puntatori, in base ai valori di errore consentiti, sono suddivisi in classi di precisione, che sono indicate sulle scale dello strumento dai numeri 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4.0. Classe di precisione gpr Il dispositivo mostra quale percentuale è l'errore assoluto rispetto all'intera scala del dispositivo.
g pr = (D e A/A max)*100% .
Ad esempio, l'errore strumentale assoluto di un dispositivo di classe 2.5 è pari al 2,5% della sua scala.
Se si conosce la classe di precisione del dispositivo e la sua scala, è possibile determinare l'errore di misurazione strumentale assoluto
D e LA = (g pr * LA max)/100.
Per aumentare la precisione delle misurazioni con uno strumento di misura elettrico a puntatore, è necessario selezionare un dispositivo con una scala tale che durante il processo di misurazione si trovi nella seconda metà della scala dello strumento.
6. Errore di lettura
L'errore di lettura deriva da letture non sufficientemente precise degli strumenti di misura.
Nella maggior parte dei casi, l'errore assoluto di lettura viene considerato pari alla metà del valore della divisione. Fanno eccezione le misurazioni con l'orologio (le lancette si muovono a scatti).
L'errore assoluto di lettura è solitamente indicato D oA
7. Errore assoluto totale delle misurazioni dirette
Quando si eseguono misurazioni dirette della grandezza fisica A, è necessario valutare i seguenti errori: D e A, D oA e D сА (casuale). Naturalmente vanno escluse altre fonti di errore legate ad un'errata installazione degli strumenti, al disallineamento della posizione iniziale della freccia dello strumento con lo 0, ecc.
L'errore assoluto totale della misurazione diretta deve includere tutti e tre i tipi di errori.
Se l'errore casuale è piccolo rispetto al valore più piccolo che può essere misurato da un dato strumento di misura (rispetto al valore della divisione), allora può essere trascurato e quindi una misurazione è sufficiente per determinare il valore di una quantità fisica. Altrimenti, la teoria della probabilità consiglia di trovare il risultato della misurazione come valore medio aritmetico dei risultati dell'intera serie di misurazioni multiple e di calcolare l'errore del risultato utilizzando il metodo della statistica matematica. La conoscenza di questi metodi va oltre il curriculum scolastico.
8. Registrazione del risultato finale della misurazione diretta
Il risultato finale della misurazione della grandezza fisica A dovrebbe essere scritto in questa forma;
A=Apr + D A, e= (D A/A pr)*100%.
E pr è il valore di una grandezza fisica ottenuto sperimentalmente; se la misurazione è stata effettuata ripetutamente, allora la media aritmetica di queste misurazioni. D A è l'errore assoluto totale della misurazione diretta.
L'errore assoluto è solitamente espresso in una cifra significativa.
Esempio: L=(7.9 + 0,1) millimetri, e=13%.
9. Errori di misurazioni indirette
Quando si elaborano i risultati delle misurazioni indirette di una grandezza fisica che è funzionalmente correlata alle grandezze fisiche A, B e C, che vengono misurate direttamente, viene innanzitutto determinato l'errore relativo della misurazione indiretta e=D X/X pr, utilizzando le formule riportate in tabella (senza evidenza).
L'errore assoluto è determinato dalla formula D X=X pr *e,
dove e espresso come frazione decimale anziché come percentuale.
Il risultato finale viene registrato come nel caso delle misurazioni dirette.
|
Tipo di funzione |
Formula |
|
X=A+B+C |
|
|
X=A-B |
|
|
X=A*B*C |
|
|
X=A n |
|
|
X=A/B |
|
Esempio: Calcoliamo l'errore nella misurazione del coefficiente di attrito utilizzando un dinamometro. L'esperimento consiste nel tirare uniformemente un blocco su una superficie orizzontale e misurare la forza applicata: è uguale alla forza di attrito radente.
Utilizzando un dinamometro, pesare il blocco con pesi: 1,8 N. Ftr =0,6 N
μ = 0,33 L'errore strumentale del dinamometro (lo troviamo dalla tabella) è Δ e = 0,05 N, Errore di lettura (metà del valore della divisione)
Δ o =0,05 N. L'errore assoluto nella misurazione del peso e della forza di attrito è 0,1 N.
Errore di misura relativo (5a riga della tabella)
, quindi l'errore assoluto della misura indiretta μ è 0,22*0,33=0,074
Se la quantità fisica desiderata non può essere misurata direttamente dal dispositivo, ma è espressa attraverso le quantità misurate utilizzando una formula, tali misurazioni vengono chiamate indiretto.
Come per le misurazioni dirette, è possibile calcolare l'errore medio assoluto (media aritmetica) o l'errore quadratico medio delle misurazioni indirette.
Le regole generali per il calcolo degli errori per entrambi i casi vengono derivate utilizzando il calcolo differenziale.
Sia la quantità fisica j( X, y, z, ...) è una funzione di una serie di argomenti indipendenti x, y, z, ..., ciascuno dei quali può essere determinato sperimentalmente. Mediante misurazioni dirette, vengono determinate le quantità e vengono stimati i loro errori assoluti medi o gli errori quadratici medi.
L'errore assoluto medio delle misurazioni indirette della quantità fisica j viene calcolato utilizzando la formula
dove sono le derivate parziali di φ rispetto a x, y, z, calcolato per i valori medi degli argomenti corrispondenti.
Poiché la formula utilizza i valori assoluti di tutti i termini della somma, l'espressione stima l'errore massimo nella misurazione della funzione per dati errori massimi delle variabili indipendenti.
Errore quadratico medio delle misurazioni indirette di quantità fisiche j
Errore massimo relativo delle misurazioni indirette di quantità fisiche j
dove, ecc.
Allo stesso modo, possiamo scrivere l'errore quadratico medio relativo delle misurazioni indirette j
Se la formula rappresenta un'espressione conveniente per la logaritmizzazione (ovvero un prodotto, una frazione, una potenza), è più conveniente calcolare prima l'errore relativo. Per fare ciò (nel caso dell'errore medio assoluto), è necessario procedere come segue.
1. Prendi il logaritmo dell'espressione per la misurazione indiretta di una quantità fisica.
2. Differenziarlo.
3. Combina tutti i termini con lo stesso differenziale e mettilo tra parentesi.
4. Prendi l'espressione davanti a vari differenziali del modulo.
5. Sostituire formalmente i simboli differenziali con i simboli di errore assoluto D.
Quindi, conoscendo e, puoi calcolare l'errore assoluto Dj utilizzando la formula
Esempio 1. Derivazione di una formula per il calcolo dell'errore relativo massimo delle misurazioni indirette del volume del cilindro.
Espressione per la misurazione indiretta di una grandezza fisica (formula originale)
Misura del diametro D e l'altezza del cilindro H misurato direttamente da strumenti con errori di misurazione diretti, rispettivamenteD D e D H.
Prendiamo il logaritmo della formula originale e otteniamo
Differenziamo l'equazione risultante
Sostituendo i simboli differenziali con i simboli dell'errore assoluto D, otteniamo finalmente una formula per calcolare l'errore relativo massimo delle misurazioni indirette del volume del cilindro