Ca exemplu de variabilă aleatoare continuă, luați în considerare o variabilă aleatoare X distribuită uniform pe intervalul (a; b). Se spune că variabila aleatoare X este distribuite uniform pe intervalul (a; b), dacă densitatea sa de distribuție nu este constantă pe acest interval:
Din condiția de normalizare determinăm valoarea constantei c. Aria de sub curba densității distribuției ar trebui să fie egală cu unitatea, dar în cazul nostru este aria unui dreptunghi cu baza (b - α) și înălțimea c (Fig. 1). 
Orez. 1 Densitate uniformă de distribuție
De aici găsim valoarea constantei c: 
Deci, densitatea unei variabile aleatoare distribuite uniform este egală cu 
Să găsim acum funcția de distribuție folosind formula:
1) pentru 
2) pentru
3) pentru 0+1+0=1.
Astfel, 
Funcția de distribuție este continuă și nu scade (Fig. 2). 
Orez. 2 Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare distribuite uniform
Vom găsi așteptarea matematică a unei variabile aleatoare distribuite uniform dupa formula:
Dispersia distribuției uniforme se calculează prin formula și este egal cu
Exemplul nr. 1. Preț de diviziune la scară instrument de măsurare este egal cu 0,2. Citirile instrumentului sunt rotunjite la cea mai apropiată diviziune întreagă. Aflați probabilitatea ca în timpul numărării să se facă o eroare: a) mai mică de 0,04; b) mare 0,02
Soluţie. Eroarea de rotunjire este o variabilă aleatoare distribuită uniform pe intervalul dintre diviziunile întregi adiacente. Să considerăm intervalul (0; 0,2) ca o astfel de împărțire (Fig. a). Rotunjirea poate fi efectuată atât spre marginea stângă - 0, cât și spre dreapta - 0,2, ceea ce înseamnă că o eroare mai mică sau egală cu 0,04 poate fi făcută de două ori, ceea ce trebuie luat în considerare la calcularea probabilității: 
P = 0,2 + 0,2 = 0,4
Pentru al doilea caz, valoarea erorii poate depăși și 0,02 pe ambele granițe de diviziune, adică poate fi fie mai mare de 0,02, fie mai mică de 0,18. 
Atunci probabilitatea unei erori ca aceasta:
Exemplul nr. 2. S-a presupus că stabilitatea situației economice din țară (absența războaielor, dezastre naturale etc.) în ultimii 50 de ani poate fi judecat după natura distribuției populației pe vârstă: într-un mediu calm ar trebui să fie uniformă. În urma studiului, s-au obținut următoarele date pentru una dintre țări.
Există vreun motiv să credem că a existat instabilitate în țară?Efectuăm soluția folosind un calculator Testarea ipotezelor. Tabel pentru calcularea indicatorilor.
| Grupuri | Punctul de mijloc al intervalului, x i | Cantitatea, f i | x i * f i | Frecvența acumulată, S | |x - x av |*f | (x - x medie) 2 *f | Frecvența, f i /n |
| 0 - 10 | 5 | 0.14 | 0.7 | 0.14 | 5.32 | 202.16 | 0.14 |
| 10 - 20 | 15 | 0.09 | 1.35 | 0.23 | 2.52 | 70.56 | 0.09 |
| 20 - 30 | 25 | 0.1 | 2.5 | 0.33 | 1.8 | 32.4 | 0.1 |
| 30 - 40 | 35 | 0.08 | 2.8 | 0.41 | 0.64 | 5.12 | 0.08 |
| 40 - 50 | 45 | 0.16 | 7.2 | 0.57 | 0.32 | 0.64 | 0.16 |
| 50 - 60 | 55 | 0.13 | 7.15 | 0.7 | 1.56 | 18.72 | 0.13 |
| 60 - 70 | 65 | 0.12 | 7.8 | 0.82 | 2.64 | 58.08 | 0.12 |
| 70 - 80 | 75 | 0.18 | 13.5 | 1 | 5.76 | 184.32 | 0.18 |
| 1 | 43 | 20.56 | 572 | 1 |
Medie ponderată
Indicatori de variație.
Variații absolute.
Intervalul de variație este diferența dintre valorile maxime și minime ale caracteristicii seriei primare.
R = X max - X min
R = 70 - 0 = 70
Dispersia- caracterizează măsura dispersiei în jurul valorii sale medii (o măsură a dispersiei, adică abaterea de la medie).
Abaterea standard.
Fiecare valoare a seriei diferă de valoarea medie de 43 cu cel mult 23,92
Testarea ipotezelor despre tipul de distribuție.
4. Testarea ipotezei despre distribuție uniformă populatia generala.
Pentru a testa ipoteza despre distribuția uniformă a lui X, i.e. conform legii: f(x) = 1/(b-a) în intervalul (a,b)
necesar:
1. Estimați parametrii a și b - capetele intervalului în care au fost observate posibile valori ale lui X, folosind formulele (semnul * indică estimările parametrilor):
2. Aflați densitatea de probabilitate a distribuției așteptate f(x) = 1/(b * - a *)
3. Găsiți frecvențele teoretice:
n 1 = nP 1 = n = n*1/(b * - a *)*(x 1 - a *)
n 2 = n 3 = ... = n s-1 = n*1/(b * - a *)*(x i - x i-1)
n s = n*1/(b * - a *)*(b * - x s-1)
4. Comparați frecvențele empirice și teoretice folosind criteriul Pearson, luând numărul de grade de libertate k = s-3, unde s este numărul de intervale inițiale de eșantionare; dacă a fost efectuată o combinație de frecvențe mici și, prin urmare, intervalele în sine, atunci s este numărul de intervale rămase după combinație.
Soluţie:
1. Găsiți estimări ale parametrilor a * și b * ai distribuției uniforme folosind formulele:
2. Aflați densitatea distribuției uniforme presupuse:
f(x) = 1/(b * - a *) = 1/(84,42 - 1,58) = 0,0121
3. Să găsim frecvențele teoretice:
n 1 = n*f(x)(x 1 - a *) = 1 * 0,0121(10-1,58) = 0,1
n 8 = n*f(x)(b * - x 7) = 1 * 0,0121(84,42-70) = 0,17
Restul n s va fi egal cu:
n s = n*f(x)(x i - x i-1)
| i | n i | n*i | n i - n * i | (n i - n* i) 2 | (n i - n * i) 2 /n * i |
| 1 | 0.14 | 0.1 | 0.0383 | 0.00147 | 0.0144 |
| 2 | 0.09 | 0.12 | -0.0307 | 0.000943 | 0.00781 |
| 3 | 0.1 | 0.12 | -0.0207 | 0.000429 | 0.00355 |
| 4 | 0.08 | 0.12 | -0.0407 | 0.00166 | 0.0137 |
| 5 | 0.16 | 0.12 | 0.0393 | 0.00154 | 0.0128 |
| 6 | 0.13 | 0.12 | 0.0093 | 8.6E-5 | 0.000716 |
| 7 | 0.12 | 0.12 | -0.000701 | 0 | 4.0E-6 |
| 8 | 0.18 | 0.17 | 0.00589 | 3.5E-5 | 0.000199 |
| Total | 1 | 0.0532 |
Prin urmare, regiunea critică pentru această statistică este întotdeauna dreptaci: \\
Astfel, funcția de densitate de distribuție uniformă are forma:
Figura 2.
Graficul arată astfel (Fig. 1):
Figura 3. Densitatea uniformă a distribuției probabilităților
Funcția uniformă de distribuție a probabilității
Să găsim acum funcția de distribuție pentru distribuția uniformă.
Pentru a face acest lucru, vom folosi următoarea formulă: $F\left(x\right)=\int\limits^x_(-\infty )(\varphi (x)dx)$
- Pentru $x ≤ a$, conform formulei, obținem:
- La $a
- Pentru $x> 2$, conform formulei, obținem:
Astfel, funcția de distribuție arată astfel:
Figura 4.
Graficul arată astfel (Fig. 2):
Figura 5. Funcția uniformă de distribuție a probabilității.
Probabilitatea ca o variabilă aleatoare să se încadreze în intervalul $((\mathbf \alpha ),(\mathbf \beta ))$ cu o distribuție uniformă de probabilitate
Pentru a afla probabilitatea ca o variabilă aleatorie să se încadreze în intervalul $(\alpha ,\beta)$ cu o distribuție uniformă a probabilității, vom folosi următoarea formulă:
Așteptări matematice:
Abatere standard:
Exemple de rezolvare a problemei distribuției uniforme de probabilitate
Exemplul 1
Intervalul dintre troleibuze este de 9 minute.
Compuneți funcția de distribuție și densitatea de distribuție a variabilei aleatoare $X$ de așteptare a pasagerilor de troleibuz.
Găsiți probabilitatea ca un pasager să aștepte un troleibuz în mai puțin de trei minute.
Găsiți probabilitatea ca un pasager să aștepte un troleibuz în cel puțin 4 minute.
Găsiți valoarea așteptată, varianța și abaterea standard
- Deoarece variabila aleatoare continuă a așteptării unui troleibuz $X$ este distribuită uniform, atunci $a=0,\ b=9$.
Astfel, densitatea distribuției, conform formulei funcției de densitate a distribuției de probabilitate uniformă, are forma:
Figura 6.
Conform formulei funcției de distribuție uniformă a probabilității, în cazul nostru funcția de distribuție are forma:
Figura 7.
- Această întrebare poate fi reformulată astfel: găsiți probabilitatea ca o variabilă aleatorie a unei distribuții uniforme să se încadreze în intervalul $\left(6,9\right).$
Primim:
\, dacă pe acest segment densitatea distribuției este constantă, iar în afara acestuia este egală cu 0.
Curba de distribuție uniformă este prezentată în Fig. 3.13.
Orez. 3.13.
Valori/ (X)în punctele extreme OŞi b complot (a, b) nu sunt indicate, deoarece probabilitatea de a atinge oricare dintre aceste puncte pentru o variabilă aleatoare continuă X este egal cu 0.
Așteptarea unei variabile aleatoare X, având o distribuție uniformă pe suprafața [a, d], /« = (a + b)/2. Varianta este calculată folosind formula D =(b- a)2/12, deci st = (b - a)/3.464.
Modelarea variabilelor aleatoare. Pentru a modela o variabilă aleatoare, trebuie să cunoașteți legea distribuției acesteia. Cea mai generală modalitate de a obține o succesiune de numere aleatoare distribuite după o lege arbitrară este o metodă bazată pe formarea lor dintr-o secvență inițială de numere aleatoare distribuite în intervalul (0; 1) după o lege uniformă.
Distribuit uniformîn intervalul (0; 1), secvențele de numere aleatoare pot fi obținute în trei moduri:
- folosind tabele special pregătite de numere aleatorii;
- utilizarea generatoarelor fizice de numere aleatorii (de exemplu, aruncarea unei monede);
- metoda algoritmică.
Pentru astfel de numere, așteptările matematice ar trebui să fie egale cu 0,5, iar varianța ar trebui să fie 1/12. Dacă aveți nevoie de un număr aleatoriu X a fost în interval ( O; b), diferit de (0; 1), trebuie să utilizați formula X=a + (b-a)r, Unde G- un număr aleatoriu din intervalul (0; 1).
Datorită faptului că aproape toate modelele sunt implementate pe un computer, un generator algoritmic (RNG) încorporat în computer este aproape întotdeauna folosit pentru a obține numere aleatorii, deși nu este o problemă să folosești tabele care au fost convertite anterior în formă electronică. . Trebuie avut în vedere că folosind metoda algoritmică obținem întotdeauna numere pseudoaleatoare, deoarece fiecare număr generat ulterior depinde de cel anterior.
În practică este întotdeauna necesar să se obțină numere aleatoare distribuite conform unei legi de distribuție date.În acest scop cel mai mult diverse metode. Dacă se cunoaşte expresia analitică pentru legea distribuţiei F, atunci poți folosi metoda functiei inverse.
Este suficient să redați un număr aleatoriu distribuit uniform în intervalul de la 0 la 1. Deoarece funcția F de asemenea, se modifică într-un interval dat, apoi numărul aleatoriu X poate fi determinat prin luarea funcției inverse dintr-un grafic sau analitic: x = F„(g). Aici G- un număr generat de RNG în intervalul de la 0 la 1; xt- variabila aleatoare rezultată. Grafic, esența metodei este prezentată în Fig. 3.14.
Orez. 3.14. Ilustrație a metodei funcției inverse pentru generarea de evenimente aleatoare X, ale căror valori sunt distribuite continuu. Figura prezintă grafice ale densității de probabilitate și ale densității de probabilitate integrală din X
Să luăm drept exemplu legea distribuției exponențiale. Funcția de distribuție a acestei legi are forma F(x) = 1 -exp(-bg). Deoarece GŞi F V această metodă sunt presupuse a fi asemănătoare și situate în același interval, apoi, înlocuind F pentru un număr aleator r, avem G= 1 - exp(-bg). Exprimarea cantității necesare X din această expresie (adică inversând funcția exp()), obținem x = -/X? 1p(1 -G).Întrucât în sens statistic (1 - r) și G - atunci este acelasi lucru x = -УХ 1p(g).
Algoritmii pentru modelarea unor legi comune de distribuție a variabilelor aleatoare continue sunt redați în tabel. 3.10.
De exemplu, este necesar să se modeleze timpul de încărcare, care este distribuit conform unei legi normale. Se știe că durata medie de încărcare este de 35 de minute, iar abaterea standard a timpului real de la valoarea medie este de 10 minute. Adică în funcție de condițiile problemei t x = 35, c x= 10. Apoi valoarea variabilei aleatoare va fi calculată conform formulei R= ?r, unde G. - numere aleatorii din RNG în interval, n = 12. Numărul 12 a fost ales suficient de mare pe baza teoremei limitei centrale a teoriei probabilităților (teorema lui Lyapunov): „Pentru un număr mare N variabile aleatoare X cu orice lege de distribuție, suma lor este un număr aleatoriu cu o lege de distribuție normală.” Apoi valoarea aleatoare X= o (7? - l/2) + t x = 10(7? -3) + 35.
Tabelul 3.10
Algoritmi pentru modelarea variabilelor aleatoare
Simularea unui eveniment aleatoriu. Un eveniment aleatoriu implică faptul că un eveniment are mai multe rezultate și care rezultat va apărea din nou este determinat doar de probabilitatea sa. Adică, rezultatul este ales aleatoriu, ținând cont de probabilitatea acestuia. De exemplu, să presupunem că știm probabilitatea de a produce produse defecte R= 0,1. Puteți simula apariția acestui eveniment jucând un număr aleatoriu distribuit uniform din intervalul de la 0 la 1 și determinând în care dintre cele două intervale (de la 0 la 0,1 sau de la 0,1 la 1) a căzut (Fig. 3.15). Dacă numărul se încadrează în intervalul (0; 0,1), atunci a fost lansat un produs defect, adică evenimentul a avut loc, în caz contrar evenimentul nu a avut loc (a fost lansat un produs standard). Cu un număr semnificativ de experimente, frecvența numerelor care se încadrează în intervalul de la 0 la 0,1 se va apropia de probabilitate P= 0,1, iar frecvența numerelor care se încadrează în intervalul de la 0,1 la 1 se va apropia de P = 0,9.
Orez. 3.15.
Evenimentele sunt numite incompatibil, dacă probabilitatea ca aceste evenimente să se producă simultan este 0. Rezultă că probabilitatea totală a unui grup de evenimente incompatibile este egală cu 1. Notăm cu a r eu, un n evenimente, și prin P ]9 P 2 , ..., R p- probabilitatea producerii unor evenimente individuale. Deoarece evenimentele sunt incompatibile, suma probabilităților apariției lor este egală cu 1: P x + P 2 + ... +Pn= 1. Pentru a simula apariția unuia dintre evenimente, folosim din nou un generator de numere aleatorii, a cărui valoare este, de asemenea, întotdeauna în intervalul de la 0 la 1. Să reprezentăm segmentele pe un interval unitar P r P v ..., R p. Este clar că suma segmentelor va forma exact un interval unitar. Punctul corespunzător numărului aruncat din generatorul de numere aleatoare pe acest interval va indica unul dintre segmente. În consecință, numerele aleatoare vor apărea mai des în segmente mai mari (probabilitatea ca aceste evenimente să apară este mai mare!), iar în segmente mai mici - mai rar (Fig. 3.16).
Dacă este necesar, modelare evenimente comune ele trebuie făcute incompatibile. De exemplu, pentru a simula apariția evenimentelor pentru care sunt date probabilități R(a) = 0,7; P(a 2)= 0,5 și P(a ]9 a 2)= 0,4, determinăm toate rezultatele incompatibile posibile ale apariției evenimentelor a g a 2și apariția lor simultană:
- 1. Apariția simultană a două evenimente P(b () = P(a L , a 2) = 0,4.
- 2. Apariția evenimentului a ] P(b 2) = P(a y) - P(a ( , a 2) = 0,7 - 0,4 = 0,3.
- 3. Apariția evenimentului a 2 P(b 3) = P(a 2) - P(a g a 2) = 0,5 - 0,4 = 0,1.
- 4. Nu au loc evenimente P(b 4) = 1 - (P(b) + P(b 2) + + P(b 3)) =0,2.
Acum probabilitățile de apariție a evenimentelor incompatibile b trebuie reprezentat pe axa numerelor sub formă de segmente. Obținând numere folosind RNG, determinăm apartenența acestora la un anumit interval și obținem implementarea evenimentelor comune O.
Orez. 3.16.
Des întâlnit în practică sisteme de variabile aleatorii, adică astfel de două (sau mai multe) variabile aleatoare diferite X, U(și altele) care depind unul de celălalt. De exemplu, dacă are loc un eveniment Xși a luat o valoare aleatorie, apoi evenimentul U se întâmplă, deși întâmplător, dar ținând cont de faptul că X a căpătat deja un anumit sens.
De exemplu, dacă ca X Dacă apare un număr mare, atunci ca U ar trebui să apară și un număr suficient de mare (dacă corelația este pozitivă, și invers, dacă este negativă). În transport, astfel de dependențe apar destul de des. Întârzierile mai mari sunt mai probabile pe rutele de lungime semnificativă etc.
Dacă variabilele aleatoare sunt dependente, atunci
f(x)=f(x l)f(x 2 x l)f(x 3 x 2 ,x l)- ... -/(xjx, r X„ , ...,x 2 ,x t), Unde x. | x._v x (- variabile dependente aleatoare: abandonul X. cu condiția să cadă x._ (9 x._ ( ,...,*,) - densitate condiționată
probabilitatea de apariție x.> dacă ai căzut x._(9 ..., x (; f(x) - probabilitatea de apariție a vectorului x de variabile dependente aleatoare.
Coeficientul de corelare q arată cât de strâns legate sunt evenimentele Hee W. Dacă coeficientul de corelație este egal cu unu, atunci dependența evenimentelor Hee Woo unu-la-unu: aceeași valoare X se potrivește cu o singură valoare U(Fig. 3.17, A) . La q, aproape de unitate, imaginea prezentată în Fig. 3.17, b, adică o valoare X Mai multe valori ale lui Y pot corespunde deja (mai precis, una dintre mai multe valori ale lui Y, determinate aleatoriu); adică în acest eveniment XŞi Y mai puțin corelate, mai puțin dependente unele de altele.
Orez. 3.17. Tip de dependență a două variabile aleatoare cu un coeficient de corelație pozitiv: o- la q = 1; b - la 0 q la q, aproape de O
Și în sfârșit, când coeficientul de corelație tinde spre zero, apare o situație în care orice valoare X poate corespunde oricărei valori Y, adică evenimentelor XŞi Y independente sau aproape independente unele de altele, nu se corelează între ele (Fig. 3.17, V).
De exemplu, să luăm distribuția normală ca fiind cea mai comună. Așteptările matematice indică cele mai probabile evenimente aici numărul de evenimente este mai mare și graficul evenimentelor este mai dens. O corelație pozitivă indică faptul că variabile aleatoare mari X provoacă generarea de mari Y. Corelația zero și aproape de zero arată că valoarea variabilei aleatoare X nu are nicio legătură cu o anumită valoare a unei variabile aleatoare Y. Este ușor de înțeles ceea ce s-a spus dacă ne imaginăm mai întâi distribuțiile f(X)și/(U) separat și apoi leagă-le într-un sistem, așa cum se arată în Fig. 3.18.
În exemplul luat în considerare Hee Y sunt distribuite conform legii normale cu valorile corespunzătoare t x, a si că, O,. Este dat coeficientul de corelație a două evenimente aleatoare q, adică variabile aleatoare Xși U sunt dependente unul de celălalt, U nu este complet accidental.
Apoi, un posibil algoritm pentru implementarea modelului va fi următorul:
1. Se extrag șase numere aleatoare distribuite uniform pe interval: b r b:, b i, b 4 , b 5, b 6; se află suma lor S:
S = b. Se găsește un număr aleator n distribuit normal: folosind următoarea formulă: x = a (5 - 6) + t x.
- 2. Conform formulei t!x = că + qoJo x (x -t x) este așteptarea matematică t y1x(semn u/xînseamnă că y va lua valori aleatoare, ținând cont de condiția că * a luat deja niște valori specifice).
- 3. Conform formulei = a d/l -C 2 se găsește abaterea standard a lui a.
4. Se trasează 12 numere aleatorii r distribuite uniform pe interval; se află suma lor k: k = Zr. Găsiți un număr aleator distribuit normal la după următoarea formulă: y = °Jk-6) + m r/x .
Orez. 3.18.
Modelarea fluxului de evenimente. Când sunt multe evenimente și se succed, se formează curgere. Rețineți că evenimentele trebuie să fie omogene, adică oarecum asemănătoare între ele. De exemplu, apariția șoferilor la benzinării care doresc să își alimenteze mașina. Adică evenimente omogene formează o anumită serie. Se crede că caracteristicile statistice ale acestui 146
fenomenele (intensitatea fluxului evenimentelor) este dată. Intensitatea fluxului de evenimente indică câte astfel de evenimente au loc în medie pe unitatea de timp. Dar exact când va avea loc fiecare eveniment specific trebuie determinat folosind metode de modelare. Este important ca atunci când generăm, de exemplu, 1000 de evenimente în 200 de ore, numărul acestora va fi aproximativ egal cu intensitatea medie de apariție a evenimentelor 1000/200 = 5 evenimente pe oră. Aceasta este o valoare statistică care caracterizează acest flux în ansamblu.
Intensitatea fluxului într-un sens este așteptarea matematică a numărului de evenimente pe unitatea de timp. Dar în realitate se poate dovedi că într-o oră apar 4 evenimente, 6 într-o alta, deși în medie sunt 5 evenimente pe oră, deci o valoare nu este suficientă pentru a caracteriza fluxul. A doua cantitate care caracterizează cât de mare este răspândirea evenimentelor în raport cu așteptările matematice este, ca și înainte, dispersia. Această valoare este cea care determină caracterul aleatoriu al apariției unui eveniment, predictibilitatea slabă a momentului producerii acestuia.
Există fluxuri aleatorii:
- obișnuit - probabilitatea apariției simultane a două sau mai multe evenimente este zero;
- staționar - frecvența de apariție a evenimentelor X permanent;
- fără efect secundar - probabilitatea de apariție a unui eveniment aleatoriu nu depinde de momentul apariției evenimentelor anterioare.
La modelarea QS, în majoritatea covârșitoare a cazurilor, se ia în considerare Flux Poisson (cel mai simplu). - curgere obișnuită fără efecte secundare,în care probabilitatea de sosire într-un interval de timp t netezi T cerințele sunt date de formula Poisson:
Un flux Poisson poate fi staționar dacă A.(/) = const(/), sau nestaționar în caz contrar.
Într-un flux Poisson, probabilitatea ca niciun eveniment să nu se producă este
În fig. 3.19 arată dependența R din când în când. Evident, cu cât timpul de observare este mai lung, cu atât este mai puțin probabil ca niciun eveniment să nu aibă loc. Mai mult, cu cât valoarea este mai mare X, cu cât graficul este mai abrupt, adică cu atât probabilitatea scade mai repede. Acest lucru corespunde faptului că, dacă rata de apariție a evenimentelor este mare, atunci probabilitatea ca evenimentul să nu se producă scade rapid odată cu timpul de observare.
Orez. 3.19.
Probabilitatea de a avea cel puțin un eveniment P = 1 - skhr(-Ad), din moment ce P + P = . Este evident că probabilitatea de apariție a cel puțin unui eveniment tinde spre unitate în timp, adică, cu o observare adecvată pe termen lung, evenimentul va avea loc cu siguranță mai devreme sau mai târziu. Prin sens R este egal cu r, prin urmare, exprimând / din formula de definiție R,În sfârșit, pentru a determina intervalele dintre două evenimente aleatoare avem
Unde G- un număr aleatoriu distribuit uniform de la 0 la 1, care se obține folosind RNG; t- intervalul dintre evenimente aleatoare (variabilă aleatoare).
Ca exemplu, luați în considerare fluxul de mașini care sosesc la terminal. Mașinile sosesc aleatoriu - în medie 8 pe zi (debit X= 8/24 autoturisme/h). Este necesar să smo- 148
împărțiți acest proces T= 100 ore Interval mediu de timp între mașini / = 1/L. = 24/8 = 3 ore.
În fig. Figura 3.20 prezintă rezultatul simulării - momentele în timp în care mașinile au ajuns la terminal. După cum se vede, doar în perioada T = 100 terminale procesate N=33 masina. Dacă rulăm din nou simularea, atunci N se poate dovedi a fi egal, de exemplu, 34, 35 sau 32. Dar în medie pentru LA algoritmul rulează N va fi egal cu 33.333.
Orez. 3.20.
Dacă se ştie că curgerea nu este obișnuit atunci este necesar să se modeleze, pe lângă momentul producerii evenimentului, și numărul de evenimente care ar putea avea loc în acest moment. De exemplu, mașinile ajung la terminal la ore aleatorii (un flux obișnuit de mașini). Dar, în același timp, mașinile pot avea cantități diferite (aleatorie) de marfă. În acest caz, se vorbește despre fluxul de marfă ca flux de evenimente extraordinare.
Să luăm în considerare problema. Este necesar să se determine timpul de nefuncționare al echipamentului de încărcare la terminal dacă containerele AUK-1.25 sunt livrate la terminal de către vehicule. Fluxul mașinilor respectă legea lui Poisson, intervalul mediu dintre mașini este de 0,5 chD = 1/0,5 = 2 mașini/oră. Numărul de containere dintr-o mașină variază conform legii normale cu o valoare medie T= 6 și a = 2.În acest caz, minimul poate fi 2, iar maximul poate fi de 10 containere. Timpul de descărcare a unui container este de 4 minute și sunt necesare 6 minute pentru operațiunile tehnologice. Algoritmul pentru rezolvarea acestei probleme, construit pe principiul postării secvențiale a fiecărei aplicații, este prezentat în Fig. 3.21.
După introducerea datelor inițiale, ciclul de simulare începe până la atingerea timpului de simulare specificat. Folosind RNG, obținem un număr aleator, apoi determinăm intervalul de timp înainte de sosirea mașinii. Marcăm intervalul rezultat pe axa timpului și simulăm numărul de containere din spatele vehiculului care sosește.
Verificăm numărul rezultat pentru un interval acceptabil. În continuare, timpul de descărcare este calculat și însumat în contorul timpului total de funcționare al echipamentului de încărcare. Se verifică condiția: dacă intervalul de sosire a vehiculului este mai mare decât timpul de descărcare, atunci diferența dintre acestea se însumează în contorul de timpi de nefuncționare a echipamentului.
Orez. 3.21.
Un exemplu tipic pentru un sistem QS ar fi funcționarea unui punct de încărcare cu mai mulți stâlpi, așa cum se arată în Fig. 3.22.
Orez. 3.22.
Pentru claritatea procesului de modelare, vom construi o diagramă temporală a funcționării QS, reflectând pe fiecare linie (axa timpului /) starea unui element individual al sistemului (Fig. 3.23). Există tot atâtea linii de timp câte obiecte sunt diferite în QS (fluxuri). În exemplul nostru, există 7 dintre ele: un flux de aplicații, un flux de așteptare pe primul loc în coadă, un flux de așteptare pe locul doi în coadă, un flux de servicii în primul canal, un flux de servicii în al doilea canal, un flux de aplicații deservite de sistem, un flux de aplicații respinse. Pentru a demonstra procesul de refuzare a serviciului, vom fi de acord că doar două mașini pot fi în coadă pentru încărcare. Dacă sunt mai multe, atunci sunt trimise la alt punct de încărcare.
Momentele aleatorii simulate de primire a cererilor de service auto sunt afișate pe prima linie. Prima solicitare este preluată și, deoarece în acest moment canalele sunt libere, este setat să deservească primul canal. Licitați 1 este transferat pe linia primului canal. Timpul de serviciu în canal este, de asemenea, aleatoriu. Găsim pe diagramă momentul încheierii serviciului, amânând timpul de service generat din momentul începerii serviciului.
niya și coborâți aplicația la linia „Servit”. Aplicația a mers până la CMO. Acum, conform principiului postării secvențiale a comenzilor, puteți modela și calea celei de-a doua comenzi.
Orez. 3.23.
Dacă la un moment dat se dovedește că ambele canale sunt ocupate, atunci cererea ar trebui să fie plasată într-o coadă. În fig. 3.23 aceasta este o aplicație 3. Rețineți că, în funcție de condițiile sarcinii, spre deosebire de canale, cererile nu sunt în coadă pentru un timp aleatoriu, ci așteaptă ca unul dintre canale să devină liber. După ce canalul este eliberat, cererea este ridicată la linia canalului corespunzător și deservirea acestuia este organizată acolo.
Dacă ponderea locului din coadă la momentul sosirii următoarei cereri este ocupată, atunci cererea trebuie trimisă la linia „Refusă”. În fig. 3.23 aceasta este o aplicație 6.
Procedura de simulare a întreținerii aplicației continuă de ceva timp. T. Cu cât acest timp este mai lung, cu atât rezultatele simulării vor fi mai precise în viitor. Real pentru sisteme simple alege T, egal cu 50-100 de ore sau mai mult, deși uneori este mai bine să măsurați această valoare după numărul de cereri analizate.
Vom analiza QS-ul folosind exemplul deja discutat.
Mai întâi trebuie să așteptați starea de echilibru. Renunțăm la primele patru solicitări ca necaracteristice, care apar în timpul procesului de stabilire a funcționării sistemului („timp de încălzire model”). Măsurăm timpul de observare, să presupunem că în exemplul nostru G = 5 ore Calculăm numărul de aplicații deservite din diagramă N o6c, timp inactiv și alte valori. Ca rezultat, putem calcula indicatori care caracterizează calitatea operațiunii QS:
- 1. Probabilitatea serviciului Р = N,/N= 5/7 = 0,714. Pentru a calcula probabilitatea de a deservi o aplicație în sistem, este suficient să împărțiți numărul de aplicații care au putut fi servite în timp T(vezi linia „Deservite”), L/o6s pentru numărul de aplicații N, care a sosit în acelaşi timp.
- 2. Debitul sistemului A = NJT h = 7/5 = 1,4 mașini/oră. Pentru calcul lățime de bandă sistem, este suficient să împărțiți numărul de aplicații servite N o6c pentru o vreme T, pentru care a avut loc acest serviciu.
- 3. Probabilitatea de eșec P = N /N=3/7 = 0,43. Pentru a calcula probabilitatea ca o solicitare să fie refuzată serviciul, este suficient să împărțiți numărul de solicitări N care au fost respinse în timpul T(vezi rândul „Refuzat”), pe numărul de cereri N, care a vrut să fie deservit în același timp, adică a intrat în sistem. Vă rugăm să rețineți că suma R op + R p(kîn teorie ar trebui să fie egal cu 1. De fapt, experimental s-a dovedit că R + R.= 0,714 + 0,43 = 1,144. Această inexactitate se explică prin faptul că în perioada de observare T S-au acumulat statistici insuficiente pentru a obține un răspuns corect. Eroarea acestui indicator este acum de 14%.
- 4. Probabilitatea de ocupare a unui canal Р = T r JT H= 0,05/5 = 0,01, unde T- timpul ocupat al unui singur canal (primul sau al doilea). Intervalele de timp în care apar anumite evenimente sunt supuse măsurătorilor. De exemplu, diagrama caută segmente atunci când primul sau al doilea canal este ocupat. În acest exemplu, există un astfel de segment la sfârșitul diagramei, cu o lungime de 0,05 ore.
- 5. Probabilitatea de ocupare a două canale P = T / T = 4,95/5 = 0,99. Diagrama caută segmente în care atât primul cât și cel de-al doilea canal sunt ocupate în același timp. În acest exemplu există patru astfel de segmente, suma lor este de 4,95 ore.
- 6. Numărul mediu de canale ocupate: /V până la - 0 P 0 + P X + 2 P, = = 0,01 +2? 0,99= 1,99. Pentru a calcula câte canale sunt ocupate în sistem în medie, este suficient să cunoașteți cota (probabilitatea de ocupare a unui canal) și să înmulțiți cu ponderea acestei cote (un canal), să cunoașteți cota (probabilitatea de ocupare a unui canal). a două canale) și înmulțiți cu ponderea acestei cote (două canale) și etc. Cifra rezultată de 1,99 indică faptul că din două canale posibile sunt încărcate în medie 1,99 canale. Aceasta este o rată de încărcare mare, 99,5%, sistemul folosește bine resursele.
- 7. Probabilitatea de oprire a cel puțin unui canal P*, = Г simplu,/Г = = 0,05/5 = 0,01.
- 8. Probabilitatea de oprire a două canale simultan: P = = T JT = 0.
- 9. Probabilitatea de oprire a întregului sistem P* =T /T = 0.
- 10. Numărul mediu de aplicații în coadă /V з = 0 P(h + 1 P și + 2P ъ= = 0,34 + 2 0,64 = 1,62 auto. Pentru a determina numărul mediu de aplicații în coadă, este necesar să se determine separat probabilitatea ca în coadă să fie o aplicație P, probabilitatea ca în coadă să fie două aplicații P 23 etc. și să le adaugă. din nou cu greutăţile corespunzătoare.
- 11. Probabilitatea ca în coadă să fie o aplicație este P și = = TJT n= 1,7/5 = 0,34 (există patru astfel de segmente în diagramă, dând un total de 1,7 ore).
- 12. Probabilitatea ca două aplicații să fie în coadă în același timp este R ъ= Г 2з /Г = 3,2/5 = 0,64 (există trei astfel de segmente în diagramă, dând un total de 3,25 ore).
- 13. Timpul mediu de așteptare pentru o aplicație în coadă este G roz = 1,7/4 = 0,425 ore. Este necesar să se însumeze toate intervalele de timp în care orice aplicație a fost în coadă și să se împartă la numărul de cereri. Există 4 astfel de solicitări pe diagrama temporală.
- 14. Timpul mediu pentru deservirea unei aplicații 7’ srobsl = 8/5 = 1,6 ore Adunați toate intervalele de timp în care orice aplicație a fost deservită în orice canal și împărțiți la numărul de aplicații.
- 15. Timpul mediu pe care o aplicație rămâne în sistem: T = T +
g g avg. cantat Mier rece
Dacă precizia nu este satisfăcătoare, atunci timpul de experiment ar trebui mărit și, prin urmare, să îmbunătățească statisticile. Puteți face acest lucru diferit dacă rulați experimentul 154 de mai multe ori
pentru o vreme Tși, ulterior, mediați valorile acestor experimente și apoi verificați din nou rezultatele în funcție de criteriul de precizie. Această procedură trebuie repetată până când se obține precizia necesară.
Analiza rezultatelor simulării
Tabelul 3.11
|
Indicator |
Sens indicator |
Interesele proprietarului CMO |
Interesele clientului |
|
Probabilitate serviciu |
Probabilitatea de serviciu este scăzută, mulți clienți părăsesc sistemul fără serviciu. Recomandare: crește probabilitatea de service |
Probabilitatea de serviciu este scăzută, fiecare al treilea client dorește să fie servit, dar nu poate. Recomandare: crește probabilitatea de servire |
|
|
Numărul mediu de aplicații în coadă |
Aproape întotdeauna, înainte de service, mașina așteaptă la coadă. Recomandare: creșteți numărul de locuri în coadă, creșteți debitul |
||
|
Creșteți debitul Creșteți numărul de locuri în coadă pentru a nu pierde potențiali clienți |
Clienții sunt interesați de creșterea semnificativă a debitului pentru a reduce latența și abandonurile |
Pentru a decide asupra implementării unor activități specifice, este necesar să se efectueze o analiză de sensibilitate a modelului. Ţintă analiza sensibilității modelului este de a determina posibile abateri ale caracteristicilor de ieșire din cauza modificărilor parametrilor de intrare.
Metodele de evaluare a sensibilității unui model de simulare sunt similare cu metodele de determinare a sensibilității oricărui sistem. Dacă caracteristica de ieşire a modelului R depinde de parametrii asociați cu cantități variabile R =/(r g r 2, r), apoi modificări în acestea
parametrii D r.(/ = 1, ..G) provoacă schimbare AR.
În acest caz, analiza de sensibilitate a modelului se reduce la studierea funcției de sensibilitate dR/etc.
Ca exemplu de analiză de sensibilitate a unui model de simulare, să luăm în considerare impactul modificării parametrilor variabili de fiabilitate a vehiculului asupra eficienței operaționale. Ca functie obiectiva folosim indicatorul costurilor reduse Zir. Pentru analiza de sensibilitate, folosim date despre funcționarea trenului rutier KamAZ-5410 în condiții urbane. Limitele de modificare a parametrilor r. pentru a determina sensibilitatea modelului este suficient să-l determinăm prin mijloace experte (Tabelul 3.12).
Pentru a efectua calcule folosind modelul, a fost selectat un punct de bază la care parametrii variați au valori care corespund standardelor. Opțiune Execution Idle Duration întreţinere iar reparația în zile este înlocuită cu un indicator specific - timpul de nefuncționare în zile la mie de kilometri N.
Rezultatele calculului sunt prezentate în Fig. 3.24. Punctul de bază este la intersecția tuturor curbelor. Arată în Fig. 3.24 dependențe ne permit să stabilim gradul de influență a fiecăruia dintre parametrii luați în considerare asupra amplorii modificării în 3. În același timp, utilizarea valorilor naturale ale cantităților analizate nu ne permite să stabilim gradul comparativ influența fiecărui parametru asupra 3, deoarece acești parametri au unități de măsură diferite. Pentru a depăși acest lucru, vom alege forma de interpretare a rezultatelor calculului în unități relative. Pentru a face acest lucru, punctul de bază trebuie mutat la originea coordonatelor, iar valorile parametrilor modificabili și modificarea relativă a caracteristicilor de ieșire ale modelului trebuie exprimate ca procent. Rezultatele transformărilor efectuate sunt prezentate în Fig. 3.25.
Tabelul 3.12
Valori parametri variabili
Orez. 3.24.
Orez. 3.25. Influența modificării relative a variaților parametri asupra gradului de modificare a
Modificarea parametrilor variabili în raport cu valoarea de bază este prezentată pe o axă. După cum se poate observa din fig. 3.25, o creștere a valorii fiecărui parametru în apropierea punctului de bază cu 50% duce la o creștere a Zpr cu 9% din creșterea T a, cu mai mult de 1,5% din C p, cu mai puțin de 0,5% din N si la o scadere de 3 cu aproape 4% a cresterii L. Scade cu 25 % b crși D rg duce la o creștere a Z pr, respectiv, cu mai mult de 6%. Reducerea parametrilor cu aceeași cantitate N t0, P a g e duce la o scădere a Zpr cu 0,2, 0,8 și, respectiv, 4,5%.
Dependențele date oferă o idee despre influența unui singur parametru și pot fi utilizate atunci când se planifica funcționarea sistemului de transport. În funcție de intensitatea influenței asupra mediului, parametrii considerați pot fi aranjați în următoarea ordine: D, II, L, C 9 N .
’a 7 k.r 7 t.r 7 t.o
În timpul funcționării, o modificare a valorii unui indicator implică o modificare a valorilor altor indicatori, iar modificarea relativă a fiecăruia dintre parametrii diferiți cu aceeași valoare în cazul general are o bază fizică inegală. Este necesar să se înlocuiască modificarea relativă a valorilor parametrilor variați în procente de-a lungul axei absciselor cu un parametru care poate servi ca măsură unică pentru evaluarea gradului de modificare a fiecărui parametru. Se poate presupune că în fiecare moment de funcționare a vehiculului, valoarea fiecărui parametru are aceeași pondere economică în raport cu valorile altor parametri variabili, adică, din punct de vedere economic, fiabilitatea vehiculului. in fiecare moment de timp are un efect de echilibru asupra tuturor parametrilor asociati acestuia . Atunci echivalentul economic necesar va fi timpul sau, mai convenabil, un an de funcționare.
În fig. Figura 3.26 prezintă dependențe construite în conformitate cu cerințele de mai sus. Valoarea de bază a Zpr este considerată valoarea din primul an de funcționare a vehiculului. Valorile parametrilor variabili pentru fiecare an de funcționare au fost determinate pe baza rezultatelor observațiilor.
Orez. 3.26.
În timpul funcționării, creșterea Zpr în primii trei ani se datorează în primul rând creșterii valorilor H jo, iar apoi, în condițiile de funcționare avute în vedere, rolul principal în reducerea eficienței utilizării vehiculului este jucat de o creștere a valorilor lui C pp. Pentru a identifica influența cantității LKp,în calcule, valoarea sa a fost echivalată cu kilometrajul total al vehiculului de la începerea funcționării. Tipul de funcție 3 =f(L) arată că intensitatea scăderii este de 3 cu creşterea
pr J v k.r" 7 n.p. J
1 la r este semnificativ redus.
Ca rezultat al analizei de sensibilitate a modelului, este posibil să înțelegem ce factori trebuie influențați pentru a schimba funcția obiectiv. Pentru a schimba factorii, sunt necesare eforturi de control, care sunt asociate cu costurile corespunzătoare. Valoarea costurilor nu poate fi infinită, ca orice resurse, aceste costuri sunt în realitate limitate. Prin urmare, este necesar să înțelegem în ce măsură alocarea fondurilor va fi eficientă. Dacă în majoritatea cazurilor costurile cresc liniar odată cu creșterea acțiunii de control, atunci eficiența sistemului crește rapid doar până la o anumită limită, atunci când chiar și costurile semnificative nu mai oferă același randament. De exemplu, este imposibil să creșteți nelimitat puterea dispozitivelor de service din cauza limitărilor de spațiu sau a numărului potențial de vehicule deservite etc.
Dacă comparăm creșterea costurilor și indicatorul de eficiență a sistemului în aceleași unități, atunci, de regulă, grafic va arăta ca cel prezentat în Fig. 3.27.
Orez. 3.27.
Din fig. 3.27 este clar că atunci când se atribuie un preț C, pe unitatea de cost Z și prețul C, pe unitatea de indicator R aceste curbe pot fi adăugate. Curbele sunt adăugate dacă trebuie să fie simultan minimizate sau maximizate. Dacă o curbă urmează să fie maximizată și cealaltă să fie minimizată, atunci diferența lor ar trebui găsită, de exemplu, prin puncte. Atunci curba rezultată (Fig. 3.28), care ia în considerare atât efectul managementului, cât și costurile acestuia, va avea un extremum. Valoarea parametrului /?, care furnizează extremul funcției, este soluția problemei de sinteză.
Orez. 3.28.
la...
Pe langa management Rși indicator R există o perturbare a sistemelor. Perturbare D= (d v d r...) este o influență de intrare, care, spre deosebire de parametrul de control, nu depinde de voința proprietarului sistemului (Fig. 3.29). De exemplu, temperaturile scăzute de afară și concurența, din păcate, reduc fluxul de clienți; Defecțiunile echipamentelor reduc performanța sistemului. Proprietarul sistemului nu poate controla direct aceste cantități. De regulă, indignarea acționează „pentru a detesta” proprietarul, reducând efectul R din eforturile de control R. Acest lucru se întâmplă deoarece, în general, sistemul este creat pentru a atinge obiective care sunt de neatins prin ele însele în natură. O persoană, care organizează un sistem, speră întotdeauna să atingă un anumit scop prin intermediul acestuia R. El depune eforturi pentru asta R.În acest context, putem spune că un sistem este o organizație accesibil omului, studiat de el ingrediente naturale pentru a atinge un obiectiv nou care anterior era de neatins prin alte mijloace.
Orez. 3.29.
Dacă eliminăm dependența indicatorului R din conducere R din nou, dar în condițiile perturbării emergente D, atunci poate că natura curbei se va schimba. Cel mai probabil, indicatorul va fi mai mic pentru aceleași valori de control, deoarece perturbarea este negativă, reducând performanța sistemului. Un sistem lăsat în voia lui, fără eforturi manageriale, încetează să-și atingă scopul pentru care a fost creat. Dacă, ca și înainte, construim o dependență a costurilor și o corelăm cu dependența indicatorului de parametrul de control, atunci punctul extremum găsit se va deplasa (Fig. 3.30) față de cazul „perturbare = 0” (vezi Fig. 3.28). Dacă perturbarea este crescută din nou, curbele se vor schimba și, în consecință, poziția punctului extremum se va schimba din nou.
Graficul din fig. 3.30 conectează indicatorul P, management (resurse) Rși indignare D V sisteme complexe, indicând cum să acționeze cel mai bine pentru managerul (organizația) care ia decizii în sistem. Dacă acțiunea de control este mai puțin decât optimă, efectul total va scădea și va apărea o situație de profit pierdut. Dacă acțiunea de control este mai mare decât optimă, atunci și efectul va scădea, deoarece plata pentru coadă este 162
O creștere suplimentară a eforturilor de control va trebui să fie mai mare decât ceea ce veți obține ca urmare a utilizării sistemului.
Orez. 3.30.
Un model de simulare a sistemului pentru utilizare reală trebuie implementat pe un computer. Acesta poate fi creat folosind următoarele instrumente:
- program de utilizator universal tip de procesor matematic (MATLAB) sau foi de calcul (Excel) sau DBMS (Access, FoxPro), care vă permite să creați doar relativ model simpluși necesită cel puțin abilități de bază de programare;
- limbaj de programare universal(C++, Java, Basic etc.), care vă permite să creați un model de orice complexitate; dar acesta este un proces foarte laborios, care necesită scrierea unei cantități mari de cod de program și depanare îndelungată;
- limbaj de simulare specializat, care are șabloane gata făcute și instrumente de programare vizuală concepute pentru a crea rapid baza unui model. Una dintre cele mai cunoscute este UML (Unified Modeling Language);
- programe de simulare, care sunt cele mai populare mijloace de creare a modelelor de simulare. Ele vă permit să creați un model vizual, doar în cazurile cele mai complexe recurgând la scrierea manuală a codului de program pentru proceduri și funcții.
Programele de simulare sunt împărțite în două tipuri:
- Pachete universale de simulare sunt concepute pentru a crea diverse modele și conțin un set de funcții care pot fi utilizate pentru a simula procese tipice în sisteme în diverse scopuri. Pachetele populare de acest tip sunt Arena (dezvoltat de Rockwell Automation 1", SUA), Extendsim (dezvoltat de Imagine That Ink., SUA), AnyLogic (dezvoltat de XJ Technologies, Rusia) și multe altele. Aproape toate pachetele universale au versiuni specializate pentru modelarea obiectelor de clase specifice.
- Pachete de simulare specifice domeniului servesc pentru modelarea unor tipuri specifice de obiecte și au instrumente specializate pentru aceasta sub formă de șabloane, vrăjitori pentru proiectarea vizuală a unui model din module gata făcute etc.
- Desigur, două numere aleatoare nu pot depinde în mod unic unul de celălalt, Fig. 3.17 este dat pentru claritatea conceptului de corelare. 144
- Analiză tehnică și economică în studiul fiabilității vehiculelor KamAZ-5410 /Yu. G. Kotikov, I. M. Blankinshtein, A. E. Gorev, A. N. Borisenko; LISI. L.:, 1983. 12 p.-Dep. în CBNTI al Ministerului Autotransportului al RSFSR, Nr.135at-D83.
- http://www.rockwellautomation.com.
- http://www.cxtcndsiin.com.
- http://www.xjtek.com.