Figură neregulată cu definiția centrului de greutate. Pozițiile centrului de greutate al unor figuri. Centrele de greutate ale unor corpuri omogene.

Dreptunghi. Deoarece un dreptunghi are două axe de simetrie, centrul său de greutate se află la intersecția axelor de simetrie, adică. în punctul de intersecție a diagonalelor dreptunghiului.

Triunghi. Centrul de greutate se află în punctul de intersecție al medianelor sale. Din geometrie se știe că medianele unui triunghi se intersectează într-un punct și sunt împărțite în raport de 1:2 de la bază.

Cerc. Deoarece un cerc are două axe de simetrie, centrul său de greutate se află la intersecția axelor de simetrie.

Semicerc. Un semicerc are o axă de simetrie, apoi centrul de greutate se află pe această axă. O altă coordonată a centrului de greutate se calculează prin formula: .

Multe elemente structurale sunt realizate din produse laminate standard - unghiuri, grinzi în I, canale și altele. Toate dimensiunile, precum și caracteristicile geometrice ale profilelor laminate, sunt date tabelare care pot fi găsite în literatura de referință în tabelele de sortiment normal (GOST 8239-89, GOST 8240-89).

Exemplul 1. Determinați poziția centrului de greutate al figurii prezentate în figură.

Soluţie:

Selectăm axele de coordonate astfel încât axa Ox să meargă de-a lungul dimensiunii generale de jos, iar axa Oy să meargă de-a lungul dimensiunii generale din stânga.

Împărțim o figură complexă cantitate minima cifre simple:

dreptunghi 20x10;

triunghi 15x10;

cerc R=3 cm.

Calculăm aria fiecărei figuri simple și coordonatele sale ale centrului de greutate. Rezultatele calculului sunt introduse în tabel

Figura nr.	Zona din figura A,	Coordonatele centrului de greutate

Răspuns: C(14,5; 4,5)

Exemplul 2 . Determinați coordonatele centrului de greutate al unei secțiuni compozite formată dintr-o foaie și secțiuni laminate.

Soluţie.

Selectăm axele de coordonate așa cum se arată în figură.

Să desemnăm cifrele prin numere și să scriem datele necesare din tabel:

Figura nr.	Zona din figura A,	Coordonatele centrului de greutate

Calculăm coordonatele centrului de greutate al figurii folosind formulele:

Răspuns: C(0; 10)

Lucrarea de laborator nr. 1 „Determinarea centrului de greutate al figurilor plate compozite”

Ţintă: Determinați centrul de greutate al unei figuri complexe plate date folosind metode experimentale și analitice și comparați rezultatele acestora.

Comanda de lucru

Desenați figura plată în caiete în mărime, indicând axele de coordonate.

Determinați analitic centrul de greutate.

1. Împărțiți figura în numărul minim de figuri ale căror centre de greutate știm să le determinăm.

   Indicați numerele zonei și coordonatele centrului de greutate al fiecărei figuri.

   Calculați coordonatele centrului de greutate al fiecărei figuri.

   Calculați aria fiecărei figuri.

   Calculați coordonatele centrului de greutate al întregii figuri folosind formulele (poziția centrului de greutate este reprezentată pe desenul figurii):

Instalația pentru determinarea experimentală a coordonatelor centrului de greutate prin metoda suspendării constă într-un suport vertical 1 (vezi figura) de care este atasat acul 2 . Figura plată 3 Fabricat din carton, care este ușor de perforat. Găuri O Şi ÎN străpuns în puncte situate aleatoriu (de preferință la cea mai îndepărtată distanță unul de celălalt). O figură plată este suspendată pe un ac, mai întâi într-un punct O , iar apoi la punct ÎN . Folosind un fir cu plumb 4 , atașat de același ac, trageți o linie verticală pe figură cu un creion corespunzător firului firului de plumb. Centrul de greutate CU figura va fi situată în punctul de intersecție al liniilor verticale trasate la agățarea figurii în puncte O Şi ÎN .

Autor: Să luăm un corp de formă arbitrară. Este posibil să-l atârnați pe un fir, astfel încât după agățat să-și păstreze poziția (adică să nu înceapă să se întoarcă) când orice orientarea inițială (Fig. 27.1)?

Cu alte cuvinte, există un punct relativ la care suma momentelor gravitaționale care acționează asupra diferitelor părți ale corpului ar fi egală cu zero la orice orientarea corpului în spațiu?

Cititor: Așa cred. Acest punct se numește centrul de greutate al corpului.

Dovada. Pentru simplitate, să considerăm un corp sub forma unei plăci plane de formă arbitrară, orientată în mod arbitrar în spațiu (Fig. 27.2). Să luăm sistemul de coordonate X 0la cu începutul în centrul de masă - punct CU, Atunci x C = 0, la C = 0.

Să ne imaginăm acest corp ca o colecție de un număr mare de mase punctuale m i, poziţia fiecăruia dintre ele este specificată de vectorul rază.

Prin definiție, centrul de masă este , iar coordonatele x C = .

Din moment ce în sistemul de coordonate am adoptat x C= 0, atunci . Să înmulțim această egalitate cu gși primim

După cum se poate observa din fig. 27.2, | x i| - acesta este umărul puterii. Și dacă x i> 0, apoi momentul forței M i> 0, iar dacă x j < 0, то M j < 0, поэтому с учетом знака можно утверждать, что для любого x i momentul forței va fi egal M i = m i gx i . Atunci egalitatea (1) este echivalentă cu egalitatea , unde M i– momentul de greutate. Aceasta înseamnă că, cu o orientare arbitrară a corpului, suma momentelor de greutate care acționează asupra corpului va fi egală cu zero în raport cu centrul său de masă.

Pentru ca corpul pe care îl considerăm să fie în echilibru, este necesar să-i aplicăm la punctul CU vigoare T = mg, îndreptată vertical în sus. Momentul acestei forțe relativ la punct CU egal cu zero.

Întrucât raționamentul nostru nu depindea în niciun fel de modul în care exact este orientat corpul în spațiu, am demonstrat că centrul de greutate coincide cu centrul de masă, ceea ce trebuia să dovedim.

Problema 27.1. Găsiți centrul de greutate al unei tije fără greutate de lungime l, la capetele cărora sunt fixate două mase punctuale T 1 și T 2 .

T 1 T 2 l	Soluţie. Vom căuta nu centrul de greutate, ci centrul de masă (din moment ce acestea sunt același lucru). Să introducem axa X(Fig. 27.3). Orez. 27.3
x C =?

Răspuns: la distanta de masa T 1 .

STOP! Decideți singur: B1–B3.

Afirmația 1 . Dacă este omogen corp plat are o axă de simetrie, centrul de greutate se află pe această axă.

Într-adevăr, pentru orice masă punctuală m i, situată în dreapta axei de simetrie, există aceeași masă punctuală situată simetric față de prima (Fig. 27.4). În acest caz, suma momentelor forțelor .

Deoarece întregul corp poate fi reprezentat ca împărțit în perechi similare de puncte, momentul total de greutate față de orice punct situat pe axa de simetrie este egal cu zero, ceea ce înseamnă că centrul de greutate al corpului este situat pe această axă. . Aceasta duce la o concluzie importantă: dacă un corp are mai multe axe de simetrie, atunci centrul de greutate se află la intersecția acestor axe.(Fig. 27.5).

Orez. 27.5

Afirmația 2. Dacă două corpuri au mase T 1 și T 2 sunt conectate într-unul singur, apoi centrul de greutate al unui astfel de corp se va afla pe un segment de linie dreaptă care leagă centrele de greutate ale primului și celui de-al doilea corp (Fig. 27.6).

Orez. 27.6 Orez. 27.7

Dovada. Să poziționăm corpul compozit astfel încât segmentul care leagă centrele de greutate ale corpurilor să fie vertical. Apoi suma momentelor de greutate ale primului corp relativ la punct CU 1 este egal cu zero și suma momentelor de greutate ale celui de-al doilea corp în raport cu punctul CU 2 este egal cu zero (Fig. 27.7).

Rețineți că umăr gravitația oricărui punct de masă t i la fel cu orice punct situat pe segment CU 1 CU 2 și, prin urmare, momentul de greutate față de orice punct situat pe segment CU 1 CU 2, la fel. În consecință, forța gravitațională a întregului corp este zero față de orice punct de pe segment CU 1 CU 2. Astfel, centrul de greutate al corpului compozit se află pe segment CU 1 CU 2 .

O concluzie practică importantă rezultă din Declarația 2, care este formulată clar sub formă de instrucțiuni.

Instrucţiuni,

cum să găsești centrul de greutate solid dacă poate fi spart

în părți, pozițiile centrelor de greutate ale fiecăruia dintre ele sunt cunoscute

1. Fiecare piesă trebuie înlocuită cu o masă situată în centrul de greutate al piesei respective.

2. Găsiți centru de masă(și acesta este același cu centrul de greutate) al sistemului rezultat de mase punctuale, alegând sistem convenabil coordonate X 0la, după formulele:

De fapt, să aranjam corpul compozit astfel încât segmentul CU 1 CU 2 era orizontală și atârnă-l pe fire în puncte CU 1 și CU 2 (Fig. 27.8, O). Este clar că organismul va fi în echilibru. Și acest echilibru nu va fi perturbat dacă înlocuim fiecare corp cu mase punctiforme T 1 și T 2 (Fig. 27.8, b).

Orez. 27.8

STOP! Decideți singur: C3.

Problema 27.2. Bilele de masă sunt plasate la două vârfuri ale unui triunghi echilateral T fiecare. O bilă de masă 2 este plasată la al treilea vârf T(Fig. 27.9, O). Latura triunghiului O. Determinați centrul de greutate al acestui sistem.

T 2T O	Orez. 27.9
x C = ? la C = ?

Soluţie. Să introducem sistemul de coordonate X 0la(Fig. 27.9, b). Apoi

,

.

Răspuns: x C = O/2; ; centrul de greutate se află la jumătate de înălțime AD.

Înainte de a găsi centrul de greutate al figurilor simple, cum ar fi cele care au o formă dreptunghiulară, rotundă, sferică sau cilindrică, precum și pătrată, trebuie să știți în ce punct se află centrul de simetrie al unei anumite figuri. Pentru că în aceste cazuri, centrul de greutate va coincide cu centrul de simetrie.

Centrul de greutate al unei tije omogene este situat în centrul său geometric. Dacă trebuie să determinați centrul de greutate al unui disc rotund cu o structură omogenă, atunci găsiți mai întâi punctul de intersecție al diametrelor cercului. Va fi centrul de greutate al acestui corp. Luând în considerare figuri precum o minge, un cerc și un paralelipiped dreptunghiular uniform, putem spune cu încredere că centrul de greutate al cercului va fi în centrul figurii, dar în afara punctelor sale, centrul de greutate al bilei este centrul geometric al sferei, iar în ultimul caz, centrul de greutate este considerat a fi diagonalele de intersecție ale unui paralelipiped dreptunghic.

Centrul de greutate al corpurilor neomogene

Pentru a găsi coordonatele centrului de greutate, precum și centrul de greutate al unui corp neomogen, este necesar să ne dăm seama pe ce segment al unui corp dat este situat punctul în care se intersectează toate forțele gravitaționale, acționând asupra dați-vă seama dacă este răsturnat. În practică, pentru a găsi un astfel de punct, corpul este suspendat pe un fir, schimbând treptat punctele de atașare a firului de corp. În cazul în care corpul este în echilibru, centrul de greutate al corpului se va așeza pe o linie care coincide cu linia firului. În caz contrar, gravitația face corpul să se miște.

Luați un creion și o riglă, trageți linii drepte verticale care să coincidă vizual cu direcțiile firului (fițe fixate în diverse puncte corp). Dacă forma corpului este destul de complexă, atunci trageți mai multe linii care se vor intersecta la un moment dat. Va deveni centrul de greutate al corpului pe care ați efectuat experimentul.

Centrul de greutate triunghi

Pentru a găsi centrul de greutate al unui triunghi, trebuie să desenați un triunghi - o figură formată din trei segmente conectate între ele în trei puncte. Înainte de a găsi centrul de greutate al figurii, trebuie să utilizați o riglă pentru a măsura lungimea unei laturi a triunghiului. Puneți un semn în mijlocul laturii, apoi conectați vârful opus și mijlocul segmentului cu o linie numită mediană. Repetați același algoritm cu a doua latură a triunghiului și apoi cu a treia. Rezultatul muncii tale va fi trei mediane care se intersectează într-un punct, care va fi centrul de greutate al triunghiului.

Dacă vă confruntați cu o sarcină referitoare la cum să găsiți centrul de greutate al unui corp sub forma unui triunghi echilateral, atunci trebuie să desenați o înălțime din fiecare vârf folosind o riglă dreptunghiulară. Centrul de greutate într-un triunghi echilateral va fi la intersecția altitudinilor, medianelor și bisectoarelor, deoarece aceleași segmente sunt simultan altitudini, mediane și bisectoare.

Coordonatele centrului de greutate al triunghiului

Înainte de a găsi centrul de greutate al triunghiului și coordonatele sale, să aruncăm o privire mai atentă asupra figurii în sine. Aceasta este o placă triunghiulară omogenă, cu vârfurile A, B, C și, în consecință, coordonate: pentru vârful A - x1 și y1; pentru vârful B - x2 și y2; pentru vârful C - x3 și y3. Când găsim coordonatele centrului de greutate, nu vom ține cont de grosimea plăcii triunghiulare. Figura arată clar că centrul de greutate al triunghiului este indicat de litera E - pentru a-l găsi, am desenat trei mediane, la intersecția cărora am plasat punctul E. Are propriile coordonate: xE și yE.

Un capăt al medianei trase de la vârful A la segmentul B are coordonatele x 1, y 1, (acesta este punctul A), iar a doua coordonată a medianei se obține pe baza faptului că punctul D (al doilea capăt al medianei ) se află la mijlocul segmentului BC. Capetele acestui segment au coordonatele cunoscute nouă: B(x 2, y 2) și C(x 3, y 3). Coordonatele punctului D sunt notate cu xD și yD. Pe baza următoarelor formule:

x=(X1+X2)/2; y=(U1+U2)/2

Determinați coordonatele mijlocului segmentului. Obtinem urmatorul rezultat:

xd=(X2+X3)/2; уd=(У2+У3)/2;

D *((X2+X3)/2, (U2+U3)/2).

Știm ce coordonate sunt tipice pentru capetele segmentului AD. Cunoaștem și coordonatele punctului E, adică centrul de greutate al plăcii triunghiulare. De asemenea, știm că centrul de greutate este situat în mijlocul segmentului AD. Acum, folosind formule și date cunoscute de noi, putem găsi coordonatele centrului de greutate.

Astfel, putem găsi coordonatele centrului de greutate al triunghiului, sau mai bine zis, coordonatele centrului de greutate al plăcii triunghiulare, având în vedere că grosimea acestuia ne este necunoscută. Ele sunt egale cu media aritmetică a coordonatelor omogene ale vârfurilor plăcii triunghiulare.

Pe baza formulelor generale obținute mai sus, se pot indica metode specifice pentru determinarea coordonatelor centrelor de greutate ale corpurilor.

1. Simetrie. Dacă un corp omogen are un plan, axă sau centru de simetrie (Fig. 7), atunci centrul său de greutate se află, respectiv, în planul de simetrie, axa de simetrie sau în centrul de simetrie.

Fig.7

2. Despicare. Corpul este împărțit într-un număr finit de părți (Fig. 8), pentru fiecare dintre acestea fiind cunoscută poziția centrului de greutate și aria.

Fig.8

3.Metoda zonei negative. Un caz special al metodei de partiționare (Fig. 9). Se aplică corpurilor care au decupaje dacă sunt cunoscute centrele de greutate ale corpului fără decupaj și partea decupată. Un corp sub forma unei plăci cu decupaj este reprezentat de o combinație de o placă solidă (fără decupaj) cu o zonă S 1 și o zonă a părții decupate S 2 .

Fig.9

4.Metoda de grupare. Este o completare bună a ultimelor două metode. După împărțirea unei figuri în elementele sale componente, este convenabil să combinați din nou unele dintre ele pentru a simplifica apoi soluția ținând cont de simetria acestui grup.

Centrele de greutate ale unor corpuri omogene.

1) Centrul de greutate al unui arc de cerc. Luați în considerare arcul AB rază R cu un unghi central. Datorită simetriei, centrul de greutate al acestui arc se află pe axă Bou(Fig. 10).

Fig.10

Să găsim coordonatele folosind formula. Pentru a face acest lucru, selectați pe arc AB element MM' lungime, a cărei poziție este determinată de unghi. Coordona X element MM' va . Înlocuind aceste valori Xși d lși ținând cont că integrala trebuie extinsă pe toată lungimea arcului, obținem:

Unde L- lungimea arcului AB, egal cu .

De aici aflăm în sfârșit că centrul de greutate al unui arc de cerc se află pe axa sa de simetrie la o distanță de centru DESPRE, egal

unde unghiul se măsoară în radiani.

2) Centrul de greutate al ariei triunghiului. Luați în considerare un triunghi situat în plan Oxy, ale căror coordonate ale vârfurilor sunt cunoscute: A i(x i,y eu), (i= 1,2,3). Ruperea triunghiului în benzi înguste paralele cu latura O 1 O 2, ajungem la concluzia că centrul de greutate al triunghiului trebuie să aparțină medianei O 3 M 3 (Fig. 11).

Fig.11

Ruperea unui triunghi în benzi paralele cu latura O 2 O 3, putem verifica că trebuie să se afle pe mediană O 1 M 1. Astfel, centrul de greutate al unui triunghi se află în punctul de intersecție al medianelor sale, care, după cum se știe, separă o a treia parte de fiecare mediană, numărând din partea corespunzătoare.

În special, pentru mediană O 1 M 1 obținem, ținând cont de faptul că coordonatele punctului M 1 este media aritmetică a coordonatelor vârfurilor O 2 și O 3:

x c = x 1 + (2/3)∙(x M 1 - x 1) = x 1 + (2/3)∙[(x 2 + x 3)/2-x 1 ] = (x 1 +x 2 +x 3)/3.

Astfel, coordonatele centrului de greutate al triunghiului sunt media aritmetică a coordonatelor vârfurilor sale:

x c =(1/3)Σ x i ; y c =(1/3)Σ y eu.

3) Centrul de greutate al zonei unui sector circular. Să considerăm un sector al unui cerc cu rază R cu un unghi central de 2α, situat simetric fata de axa Bou(Fig. 12) .

Este evident că y c = 0, iar distanța de la centrul cercului din care este tăiat acest sector până la centrul său de greutate poate fi determinată prin formula:

Fig.12

Cel mai simplu mod de a calcula această integrală este împărțirea domeniului de integrare în sectoare elementare cu un unghi dφ. Cu precizie la infinitezimale de ordinul întâi, un astfel de sector poate fi înlocuit cu un triunghi cu o bază egală cu R× dφ și înălțimea R. Aria unui astfel de triunghi dF=(1/2)R 2 ∙dφ, iar centrul său de greutate este la o distanță de 2/3 R de la vârf, deci în (5) punem x = (2/3)R∙cosφ. Înlocuirea în (5) F= α R 2, obținem:

Folosind ultima formulă, calculăm, în special, distanța până la centrul de greutate semicerc.

Înlocuind α = π/2 în (2), obținem: x c = (4R)/(3π) ≅ 0,4 R .

Exemplul 1. Să determinăm centrul de greutate al corpului omogen prezentat în Fig. 13.

Fig.13

Corpul este omogen, format din două părți cu formă simetrică. Coordonatele centrelor lor de greutate:

Volumele lor:

Prin urmare, coordonatele centrului de greutate al corpului

Exemplul 2. Să găsim centrul de greutate al unei plăci îndoite în unghi drept. Dimensiunile sunt în desen (Fig. 14).

Fig.14

Coordonatele centrelor de greutate:

Zone:

Orez. 6.5.

Exemplul 3. O foaie pătrată cm are o gaură pătrată decupată cm (Fig. 15). Să găsim centrul de greutate al foii.

Fig.15

În această problemă, este mai convenabil să împărțiți corpul în două părți: un pătrat mare și o gaură pătrată. Doar zona găurii ar trebui considerată negativă. Apoi coordonatele centrului de greutate al foii cu gaura:

coordona întrucât corpul are o axă de simetrie (diagonală).

Exemplul 4. Suportul de sârmă (Fig. 16) este format din trei secțiuni de lungime egală l.

Fig.16

Coordonatele centrelor de greutate ale secțiunilor:

Prin urmare, coordonatele centrului de greutate al întregului bracket sunt:

Exemplul 5. Determinați poziția centrului de greutate al fermei, ale cărui toate tijele au aceeași densitate liniară (Fig. 17).

Să ne amintim că în fizică densitatea unui corp ρ și a acestuia greutate specifică g sunt legate prin relația: γ= ρ g, Unde g- accelerare în cădere liberă. Pentru a găsi masa unui astfel de corp omogen, trebuie să înmulțiți densitatea cu volumul său.

Fig.17

Termenul de densitate „liniară” sau „liniară” înseamnă că pentru a determina masa unei tije, densitatea liniară trebuie înmulțită cu lungimea acestei tije.

Pentru a rezolva problema, puteți utiliza metoda de partiționare. Reprezentând o fermă dată ca o sumă de 6 tije individuale, obținem:

Unde L i lungime i al-lea truss rod și x i, y eu- coordonatele centrului său de greutate.

Soluția la această problemă poate fi simplificată prin gruparea ultimelor 5 bare ale fermei. Este ușor de observat că formează o figură cu un centru de simetrie situat în mijlocul celei de-a patra tije, unde se află centrul de greutate al acestui grup de tije.

Astfel, o fermă dată poate fi reprezentată printr-o combinație de doar două grupuri de tije.

Primul grup este format din prima tijă, pentru aceasta L 1 = 4 m, x 1 = 0 m, y 1 = 2 m Al doilea grup de tije este format din cinci tije L 2 = 20 m, x 2 = 3 m, y 2 = 2 m.

Coordonatele centrului de greutate al fermei se găsesc folosind formula:

x c = (L 1 ∙x 1 +L 2 ∙x 2)/(L 1 + L 2) = (4∙0 + 20∙3)/24 = 5/2 m;

y c = (L 1 ∙y 1 +L 2 ∙y 2)/(L 1 + L 2) = (4∙2 + 20∙2)/24 = 2 m.

Rețineți că centrul CU se află pe linia dreaptă care leagă CU 1 și CU 2 și împarte segmentul CU 1 CU 2 privind: CU 1 CU/SS 2 = (x c - x 1)/(x 2 - x c ) = L 2 /L 1 = 2,5/0,5.

Întrebări de autotest

Cum se numeste centrul fortelor paralele?

Cum se determină coordonatele centrului forțelor paralele?

Cum se determină centrul forțelor paralele a căror rezultantă este zero?

Ce proprietăți are centrul forțelor paralele?

Ce formule sunt folosite pentru a calcula coordonatele centrului de forțe paralele?

Care este centrul de greutate al unui corp?

De ce forțele gravitaționale ale Pământului care acționează asupra unui punct al unui corp pot fi luate ca un sistem de forțe paralele?

Scrieți formula pentru determinarea poziției centrului de greutate al corpurilor neomogene și omogene, formula pentru determinarea poziției centrului de greutate al secțiunilor plate?

Scrieți formula pentru a determina poziția centrului de greutate al simplu forme geometrice: dreptunghi, triunghi, trapez și semicerc?

Care este momentul static al ariei?

Dați un exemplu de corp al cărui centru de greutate este situat în afara corpului.

Cum sunt utilizate proprietățile simetriei în determinarea centrelor de greutate a corpurilor?

Care este esența metodei ponderi negative?

Unde este centrul de greutate al unui arc de cerc?

Ce construcție grafică poate fi folosită pentru a găsi centrul de greutate al unui triunghi?

Scrieți formula care determină centrul de greutate al unui sector circular.

Folosind formule care determină centrele de greutate ale unui triunghi și ale unui sector circular, obțineți o formulă similară pentru un segment circular.

Ce formule se folosesc pentru a calcula coordonatele centrelor de greutate ale corpurilor omogene, figurilor plate și liniilor?

Ce se numește momentul static al ariei unei figuri plane în raport cu axa, cum se calculează și ce dimensiune are?

Cum se determină poziția centrului de greutate al unei zone dacă poziția centrelor de greutate ale părților sale individuale este cunoscută?

Ce teoreme auxiliare sunt folosite pentru a determina poziția centrului de greutate?