Približevanje eksperimentalnih podatkov je metoda, ki temelji na zamenjavi eksperimentalno pridobljenih podatkov z analitično funkcijo, ki najbolj natančno prehaja ali sovpada v vozliščih z izvirnimi vrednostmi (podatki, pridobljeni med poskusom ali eksperimentom). Trenutno obstajata dva načina za definiranje analitične funkcije:
S konstruiranjem n-stopenjskega interpolacijskega polinoma, ki prehaja neposredno skozi vse točke dano niz podatkov. V tem primeru je aproksimirajoča funkcija predstavljena v obliki: interpolacijskega polinoma v Lagrangeovi obliki ali interpolacijskega polinoma v Newtonovi obliki.
S konstruiranjem n-stopenjskega aproksimirajočega polinoma, ki prehaja v neposredni bližini točk iz danega niza podatkov. Tako približevalna funkcija zgladi ves naključni šum (ali napake), ki se lahko pojavijo med poskusom: izmerjene vrednosti med poskusom so odvisne od naključnih dejavnikov, ki nihajo v skladu s svojimi naključnimi zakoni (merilne ali instrumentalne napake, netočnost ali eksperimentalna napake). V tem primeru se aproksimirajoča funkcija določi z metodo najmanjši kvadrati.
Metoda najmanjših kvadratov(v angleški literaturi Ordinary Least Squares, OLS) je matematična metoda, ki temelji na določanju aproksimacijske funkcije, ki je skonstruirana v najbližji bližini točk iz danega niza eksperimentalnih podatkov. Bližina izvirne in aproksimativne funkcije F(x) je določena z numerično mero, in sicer: vsota kvadratov odstopanj eksperimentalnih podatkov od aproksimativne krivulje F(x) naj bo najmanjša.
Približna krivulja, izdelana po metodi najmanjših kvadratov
Uporablja se metoda najmanjših kvadratov:
Za reševanje preveč določenih sistemov enačb, ko število enačb presega število neznank;
Poiskati rešitev v primeru navadnih (ne predoločenih) nelinearnih sistemov enačb;
Za približevanje vrednosti točk z neko aproksimirajočo funkcijo.
Približevalna funkcija z uporabo metode najmanjših kvadratov je določena iz pogoja najmanjše vsote kvadratnih odklonov izračunane približevalne funkcije od danega niza eksperimentalnih podatkov. Ta kriterij metode najmanjših kvadratov je zapisan kot naslednji izraz:
Vrednosti izračunane aproksimacijske funkcije v vozliščih,
Podan niz eksperimentalnih podatkov na vozliščih.
Kvadratni kriterij ima številne "dobre" lastnosti, kot je diferenciabilnost, ki zagotavlja edinstveno rešitev aproksimacijskega problema s polinomskimi aproksimacijskimi funkcijami.
Odvisno od pogojev problema je aproksimirajoča funkcija polinom stopnje m
Stopnja aproksimacijske funkcije ni odvisna od števila vozlišč, vendar mora biti njena dimenzija vedno manjša od dimenzije (števila točk) danega niza eksperimentalnih podatkov.
∙ Če je stopnja aproksimirajoče funkcije m=1, potem tabelarno funkcijo aproksimiramo z ravno črto (linearna regresija).
∙ Če je stopnja aproksimacijske funkcije m=2, potem funkcijo tabele aproksimiramo s kvadratno parabolo (kvadratna aproksimacija).
∙ Če je stopnja aproksimacijske funkcije m=3, potem funkcijo tabele aproksimiramo s kubično parabolo (kubična aproksimacija).
V splošnem primeru, ko je treba za dano sestaviti aproksimativni polinom stopnje m vrednosti tabele, se pogoj za najmanjšo vsoto kvadratov odstopanj po vseh vozliščih prepiše v naslednji obliki:
- neznani koeficienti aproksimirajočega polinoma stopnje m;
Določeno število vrednosti tabele.
Nujen pogoj za obstoj minimuma funkcije je enakost nič njenih delnih odvodov glede na neznane spremenljivke. . Kot rezultat dobimo naslednji sistem enačb:
Preoblikujemo nastalo linearni sistem enačbe: odprite oklepaje in premaknite proste člene na desno stran izraza. Posledično bo dobljeni sistem linearnih algebrskih izrazov zapisan v naslednji obliki:
Ta sistem linearne algebraične izraze lahko prepišemo v matrično obliko:
Kot rezultat smo dobili sistem linearnih enačb dimenzije m+1, ki je sestavljen iz m+1 neznank. Ta sistem je mogoče rešiti s katero koli metodo za reševanje linearnih algebrskih enačb (na primer z Gaussovo metodo). Kot rezultat rešitve bodo najdeni neznani parametri aproksimacijske funkcije, ki zagotavljajo minimalno vsoto kvadratov odmikov aproksimacijske funkcije od izvirnih podatkov, t.j. najboljši možni kvadratni približek. Ne smemo pozabiti, da če se spremeni samo ena vrednost izvornih podatkov, bodo vsi koeficienti spremenili svoje vrednosti, saj so popolnoma določeni z izvornimi podatki.
Aproksimacija izvornih podatkov z linearno odvisnostjo
(linearna regresija)
Kot primer si oglejmo tehniko za določanje aproksimacijske funkcije, ki je določena v obliki linearne odvisnosti. V skladu z metodo najmanjših kvadratov je pogoj za minimum vsote kvadratov odklonov zapisan v obliki:
Koordinate vozlišč tabele;
Neznani koeficienti aproksimacijske funkcije, ki je določena kot linearna odvisnost.
Nujen pogoj za obstoj minimuma funkcije je enakost nič njenih delnih odvodov glede na neznane spremenljivke. Kot rezultat dobimo naslednji sistem enačb:
Transformirajmo nastali linearni sistem enačb.
Rešujemo nastali sistem linearnih enačb. Koeficienti aproksimacijske funkcije v analitični obliki se določijo na naslednji način (Cramerjeva metoda):
Ti koeficienti zagotavljajo konstrukcijo linearne aproksimacijske funkcije v skladu s kriterijem minimiziranja vsote kvadratov aproksimacijske funkcije iz danih tabelaričnih vrednosti (eksperimentalni podatki).
Algoritem za implementacijo metode najmanjših kvadratov
1. Začetni podatki:
Podan je niz eksperimentalnih podatkov s številom meritev N
Določena je stopnja aproksimirajočega polinoma (m).
2. Algoritem za izračun:
2.1. Koeficienti so določeni za sestavo sistema enačb z dimenzijami
Koeficienti sistema enačb (leva stran enačbe)
- indeks številke stolpca kvadratne matrike sistema enačb
Prosti členi sistema linearnih enačb (desna stran enačbe)
- indeks številke vrstice kvadratne matrike sistema enačb
2.2. Tvorba sistema linearnih enačb z dimenzijo .
2.3. Reševanje sistema linearnih enačb za določitev neznanih koeficientov aproksimirajočega polinoma stopnje m.
2.4 Določitev vsote kvadratov odstopanj aproksimirajočega polinoma od prvotnih vrednosti na vseh vozliščih
Ugotovljena vrednost vsote kvadratov odstopanj je najmanjša možna.
Približek z uporabo drugih funkcij
Upoštevati je treba, da se pri aproksimaciji izvirnih podatkov v skladu z metodo najmanjših kvadratov kot aproksimacijske funkcije včasih uporabljajo logaritemska funkcija, eksponentna funkcija in potenčna funkcija.
Logaritemski približek
Oglejmo si primer, ko je aproksimativna funkcija podana z logaritemsko funkcijo oblike:
Primer.
Eksperimentalni podatki o vrednostih spremenljivk X in pri so podani v tabeli. 
Kot rezultat njihove poravnave dobimo funkcijo 
Uporaba metoda najmanjših kvadratov te podatke približamo z linearno odvisnostjo y=ax+b(poiščite parametre A in b). Ugotovite, katera od obeh črt bolje (v smislu metode najmanjših kvadratov) uskladi eksperimentalne podatke. Narišite risbo.
Bistvo metode najmanjših kvadratov (MSM).
Naloga je najti koeficiente linearne odvisnosti, pri katerih je funkcija dveh spremenljivk A in b 
ima najmanjšo vrednost. Se pravi, dano A in b vsota kvadratov odstopanj eksperimentalnih podatkov od najdene premice bo najmanjša. To je bistvo metode najmanjših kvadratov.
Tako se reševanje primera zmanjša na iskanje ekstrema funkcije dveh spremenljivk.
Izpeljava formul za iskanje koeficientov.
Sestavi se in reši sistem dveh enačb z dvema neznankama. Iskanje parcialnih odvodov funkcije glede na spremenljivke A in b, te izpeljanke enačimo z nič. 
Nastali sistem enačb rešimo s poljubno metodo (npr po substitucijski metodi ali ) in pridobite formule za iskanje koeficientov z uporabo metode najmanjših kvadratov (LSM). 
dano A in b funkcijo ima najmanjšo vrednost. Dokaz za to dejstvo je podan.
To je celotna metoda najmanjših kvadratov. Formula za iskanje parametra a vsebuje vsote , , , in parameter n- količina eksperimentalnih podatkov. Priporočamo, da vrednosti teh zneskov izračunate ločeno. Koeficient b ugotovljeno po izračunu a.
Čas je, da se spomnimo izvirnega primera.
rešitev.
V našem primeru n=5. Izpolnimo tabelo za lažji izračun zneskov, ki so vključeni v formule zahtevanih koeficientov. 
Vrednosti v četrti vrstici tabele dobimo tako, da za vsako številko pomnožimo vrednosti 2. vrstice z vrednostmi 3. vrstice. i.
Vrednosti v peti vrstici tabele dobimo s kvadriranjem vrednosti v 2. vrstici za vsako število i.
Vrednosti v zadnjem stolpcu tabele so vsote vrednosti v vrsticah.
Za iskanje koeficientov uporabljamo formule metode najmanjših kvadratov A in b. V njih nadomestimo ustrezne vrednosti iz zadnjega stolpca tabele: 
torej y = 0,165x+2,184- želena aproksimativna premica.
Še vedno je treba ugotoviti, katera od vrstic y = 0,165x+2,184 oz bolje približa izvirne podatke, to je ocene z uporabo metode najmanjših kvadratov.
Ocena napake metode najmanjših kvadratov.
Če želite to narediti, morate izračunati vsoto kvadratov odstopanj izvirnih podatkov od teh vrstic 
in 
, manjša vrednost ustreza črti, ki bolje približa izvirne podatke v smislu metode najmanjših kvadratov. 
Od , potem naravnost y = 0,165x+2,184 bolje približa izvirne podatke.
Grafična ilustracija metode najmanjših kvadratov (LS).
Na grafih je vse jasno razvidno. Rdeča črta je najdena ravna črta y = 0,165x+2,184, modra črta je , roza pike so izvirni podatki.
Zakaj je to potrebno, zakaj vsi ti približki?
Osebno ga uporabljam za reševanje težav z glajenjem podatkov, interpolacijo in ekstrapolacijo (v prvotnem primeru bi lahko morali najti vrednost opazovane vrednosti l pri x=3 ali kdaj x=6 z uporabo metode najmanjših kvadratov). Toda o tem bomo več govorili kasneje v drugem delu spletnega mesta.
Dokaz.
Torej, ko najdemo A in b funkcija zavzame najmanjšo vrednost, je nujno, da je na tej točki matrika kvadratne oblike diferenciala drugega reda za funkcijo je bil pozitiven. Pokažimo ga.
Diferencial drugega reda ima obliko: 
To je
Zato ima matrika kvadratne oblike obliko 
in vrednosti elementov niso odvisne od A in b.
Pokažimo, da je matrika pozitivno določena. Za to morajo biti kotni minori pozitivni.
Kotni minor prvega reda 
. Neenakost je stroga, ker točke ne sovpadajo. V nadaljevanju bomo to namigovali.
Kotni minor drugega reda 
Dokažimo to 
po metodi matematične indukcije.
Zaključek: najdene vrednosti A in b ustrezajo najmanjši vrednosti funkcije , so torej zahtevani parametri za metodo najmanjših kvadratov.
Po izravnavi dobimo funkcijo naslednje oblike: g (x) = x + 1 3 + 1 .
Te podatke lahko približamo z uporabo linearne povezave y = a x + b z izračunom ustreznih parametrov. Za to bomo morali uporabiti tako imenovano metodo najmanjših kvadratov. Prav tako boste morali narediti risbo, da preverite, katera črta bo najbolje poravnala eksperimentalne podatke.
Kaj točno je OLS (metoda najmanjših kvadratov)
Glavna stvar, ki jo moramo storiti, je najti takšne koeficiente linearne odvisnosti, pri katerih bo vrednost funkcije dveh spremenljivk F (a, b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2 enaka najmanjši. Z drugimi besedami, za določene vrednosti a in b bo imela vsota kvadratnih odstopanj predstavljenih podatkov od nastale ravne črte najmanjšo vrednost. To je pomen metode najmanjših kvadratov. Vse, kar moramo storiti, da rešimo primer, je, da poiščemo ekstrem funkcije dveh spremenljivk.
Kako izpeljati formule za izračun koeficientov
Če želite izpeljati formule za izračun koeficientov, morate ustvariti in rešiti sistem enačb z dvema spremenljivkama. Da bi to naredili, izračunamo delne odvode izraza F (a, b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2 glede na a in b ter jih enačimo z 0.
δ F (a , b) δ a = 0 δ F (a , b) δ b = 0 ⇔ - 2 ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) x i = 0 - 2 ∑ i = 1 n ( y i - (a x i + b)) = 0 ⇔ a ∑ i = 1 n x i 2 + b ∑ i = 1 n x i = ∑ i = 1 n x i y i a ∑ i = 1 n x i + ∑ i = 1 n b = ∑ i = 1 n y i ⇔ a ∑ i = 1 n x i 2 + b ∑ i = 1 n x i = ∑ i = 1 n x i y i a ∑ i = 1 n x i + n b = ∑ i = 1 n y i
Za rešitev sistema enačb lahko uporabite katero koli metodo, na primer substitucijo ali Cramerjevo metodo. Posledično bi morali imeti formule, ki jih je mogoče uporabiti za izračun koeficientov z uporabo metode najmanjših kvadratov.
n ∑ i = 1 n x i y i - ∑ i = 1 n x i ∑ i = 1 n y i n ∑ i = 1 n - ∑ i = 1 n x i 2 b = ∑ i = 1 n y i - a ∑ i = 1 n x i n
Izračunali smo vrednosti spremenljivk, pri katerih funkcija
F (a , b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2 bo prevzel najmanjšo vrednost. V tretjem odstavku bomo dokazali, zakaj je točno tako.
To je uporaba metode najmanjših kvadratov v praksi. Njegova formula, ki se uporablja za iskanje parametra a, vključuje ∑ i = 1 n x i, ∑ i = 1 n y i, ∑ i = 1 n x i y i, ∑ i = 1 n x i 2, kot tudi parameter
n – označuje količino eksperimentalnih podatkov. Svetujemo vam, da izračunate vsak znesek posebej. Vrednost koeficienta b se izračuna takoj za a.
Vrnimo se k izvirnemu primeru.
Primer 1
Tukaj imamo n enako pet. Da bi bilo lažje izračunati zahtevane količine, vključene v formule koeficientov, izpolnimo tabelo.
| i = 1 | i=2 | i=3 | i=4 | i=5 | ∑ i = 1 5 | |
| x i | 0 | 1 | 2 | 4 | 5 | 12 |
| y i | 2 , 1 | 2 , 4 | 2 , 6 | 2 , 8 | 3 | 12 , 9 |
| x i y i | 0 | 2 , 4 | 5 , 2 | 11 , 2 | 15 | 33 , 8 |
| x i 2 | 0 | 1 | 4 | 16 | 25 | 46 |
rešitev
Četrta vrstica vključuje podatke, pridobljene z množenjem vrednosti iz druge vrstice z vrednostmi tretje za vsako posamezno i. V peti vrstici so podatki iz druge, na kvadrat. Zadnji stolpec prikazuje vsote vrednosti posameznih vrstic.
Uporabimo metodo najmanjših kvadratov za izračun koeficientov a in b, ki ju potrebujemo. Če želite to narediti, zamenjajte zahtevane vrednosti iz zadnjega stolpca in izračunajte zneske:
n ∑ i = 1 n x i y i - ∑ i = 1 n x i ∑ i = 1 n y i n ∑ i = 1 n - ∑ i = 1 n x i 2 b = ∑ i = 1 n y i - a ∑ i = 1 n x i n ⇒ a = 5 33, 8 - 12 12, 9 5 46 - 12 2 b = 12, 9 - a 12 5 ⇒ a ≈ 0, 165 b ≈ 2, 184
Izkaže se, da bo zahtevana aproksimativna ravna črta videti kot y = 0, 165 x + 2, 184. Sedaj moramo ugotoviti, katera črta bo bolje približala podatke - g (x) = x + 1 3 + 1 ali 0, 165 x + 2, 184. Ocenimo z metodo najmanjših kvadratov.
Za izračun napake moramo najti vsoto kvadratov odstopanj podatkov od ravnih črt σ 1 = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b i)) 2 in σ 2 = ∑ i = 1 n (y i - g (x i)) 2, bo najmanjša vrednost ustrezala primernejši liniji.
σ 1 = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b i)) 2 = = ∑ i = 1 5 (y i - (0, 165 x i + 2, 184)) 2 ≈ 0, 019 σ 2 = ∑ i = 1 n (y i - g (x i)) 2 = = ∑ i = 1 5 (y i - (x i + 1 3 + 1)) 2 ≈ 0,096
odgovor: od σ 1< σ 2 , то прямой, наилучшим образом аппроксимирующей исходные данные, будет
y = 0,165 x + 2,184.
Metoda najmanjših kvadratov je jasno prikazana na grafični ilustraciji. Rdeča črta označuje premico g (x) = x + 1 3 + 1, modra črta označuje y = 0, 165 x + 2, 184. Izvirni podatki so označeni z rožnatimi pikami.
Naj pojasnimo, zakaj so potrebni točno taki približki.
Uporabljajo se lahko pri nalogah, ki zahtevajo glajenje podatkov, pa tudi pri tistih, kjer je treba podatke interpolirati ali ekstrapolirati. Na primer, v zgoraj obravnavanem problemu bi lahko našli vrednost opazovane količine y pri x = 3 ali pri x = 6. Takim primerom smo posvetili poseben članek.
Dokaz metode OLS
Da funkcija zavzame minimalno vrednost, ko sta izračunana a in b, je potrebno, da je v dani točki matrika kvadratne oblike diferenciala funkcije oblike F (a, b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2 je pozitivno določen. Pokažimo vam, kako bi moralo izgledati.
Primer 2
Imamo diferencial drugega reda naslednje oblike:
d 2 F (a ; b) = δ 2 F (a ; b) δ a 2 d 2 a + 2 δ 2 F (a ; b) δ a δ b d a d b + δ 2 F (a ; b) δ b 2 d 2 b
rešitev
δ 2 F (a ; b) δ a 2 = δ δ F (a ; b) δ a δ a = = δ - 2 ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) x i δ a = 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 δ 2 F (a; b) δ a δ b = δ δ F (a; b) δ a δ b = = δ - 2 ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b) ) x i δ b = 2 ∑ i = 1 n x i δ 2 F (a ; b) δ b 2 = δ δ F (a ; b) δ b δ b = δ - 2 ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) δ b = 2 ∑ i = 1 n (1) = 2 n
Z drugimi besedami, to lahko zapišemo takole: d 2 F (a ; b) = 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 d 2 a + 2 2 ∑ x i i = 1 n d a d b + (2 n) d 2 b.
Dobili smo matriko kvadratne oblike M = 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 2 ∑ i = 1 n x i 2 ∑ i = 1 n x i 2 n .
V tem primeru se vrednosti posameznih elementov ne bodo spreminjale glede na a in b. Ali je ta matrika pozitivno določena? Da odgovorimo na to vprašanje, preverimo, ali so njegovi kotni minori pozitivni.
Izračunamo kotni minor prvega reda: 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 > 0 . Ker točke x i ne sovpadajo, je neenakost stroga. To bomo upoštevali pri nadaljnjih izračunih.
Izračunamo kotni minor drugega reda:
d e t (M) = 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 2 ∑ i = 1 n x i 2 ∑ i = 1 n x i 2 n = 4 n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2
Po tem nadaljujemo z dokazovanjem neenakosti n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 > 0 z uporabo matematične indukcije.
- Preverimo, ali ta neenakost velja za poljuben n. Vzemimo 2 in izračunajmo:
2 ∑ i = 1 2 (x i) 2 - ∑ i = 1 2 x i 2 = 2 x 1 2 + x 2 2 - x 1 + x 2 2 = = x 1 2 - 2 x 1 x 2 + x 2 2 = x 1 + x 2 2 > 0
Dobili smo pravilno enakost (če vrednosti x 1 in x 2 ne sovpadata).
- Predpostavimo, da bo ta neenakost resnična za n, tj. n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 > 0 – drži.
- Sedaj bomo dokazali veljavnost za n + 1, tj. da je (n + 1) ∑ i = 1 n + 1 (x i) 2 - ∑ i = 1 n + 1 x i 2 > 0, če je n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 > 0 .
Izračunamo:
(n + 1) ∑ i = 1 n + 1 (x i) 2 - ∑ i = 1 n + 1 x i 2 = = (n + 1) ∑ i = 1 n (x i) 2 + x n + 1 2 - ∑ i = 1 n x i + x n + 1 2 = = n ∑ i = 1 n (x i) 2 + n x n + 1 2 + ∑ i = 1 n (x i) 2 + x n + 1 2 - - ∑ i = 1 n x i 2 + 2 x n + 1 ∑ i = 1 n x i + x n + 1 2 = = ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 + n x n + 1 2 - x n + 1 ∑ i = 1 n x i + ∑ i = 1 n (x i) 2 = = ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 + x n + 1 2 - 2 x n + 1 x 1 + x 1 2 + + x n + 1 2 - 2 x n + 1 x 2 + x 2 2 + . . . + x n + 1 2 - 2 x n + 1 x 1 + x n 2 = = n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 + + (x n + 1 - x 1) 2 + (x n + 1) - x 2) 2 + . . . + (x n - 1 - x n) 2 > 0
Izraz v zavitih oklepajih bo večji od 0 (glede na to, kar smo predpostavili v 2. koraku), preostali členi pa bodo večji od 0, saj so vsi kvadrati števil. Neenakost smo dokazali.
odgovor: najdena a in b bosta ustrezala najmanjši vrednosti funkcije F (a, b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2, kar pomeni, da sta zahtevana parametra metode najmanjših kvadratov. (LSM).
Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter
- Uvodna lekcija brezplačno;
- Veliko število izkušenih učiteljev (domačih in rusko govorečih);
- Tečaji NISO za določeno obdobje (mesec, šest mesecev, leto), temveč za določeno število lekcij (5, 10, 20, 50);
- Več kot 10.000 zadovoljnih strank.
- Cena ene lekcije z rusko govorečim učiteljem je od 600 rubljev, z maternim govorcem - od 1500 rubljev
Bistvo metode najmanjših kvadratov je pri iskanju parametrov modela trenda, ki najbolje opisuje tendenco razvoja katerega koli naključnega pojava v času ali prostoru (trend je črta, ki označuje tendenco tega razvoja). Naloga metode najmanjših kvadratov (LSM) se zmanjša na iskanje ne le nekega modela trenda, temveč na iskanje najboljšega ali optimalnega modela. Ta model bo optimalen, če je vsota kvadratnih odstopanj med opazovanimi dejanskimi vrednostmi in ustreznimi izračunanimi vrednostmi trenda minimalna (najmanjša):
kjer je kvadratni odklon med opazovano dejansko vrednostjo
in ustrezno izračunano vrednost trenda,
Dejanska (opazovana) vrednost pojava, ki se proučuje,
Izračunana vrednost modela trenda,
Število opazovanj pojava, ki se proučuje.
MNC se sam po sebi zelo redko uporablja. Praviloma se najpogosteje uporablja le kot nujna tehnična tehnika v korelacijskih študijah. Ne smemo pozabiti, da je informacijska osnova OLS lahko le zanesljiva statistična serija, število opazovanj pa ne sme biti manjše od 4, sicer lahko postopki glajenja OLS izgubijo zdrav razum.
Zbirka orodij MNC se skrči na naslednje postopke:
Prvi postopek. Izkaže se, ali sploh obstaja kakšna težnja po spremembi rezultantnega atributa, ko se spremeni izbrani faktor-argument, ali z drugimi besedami, ali obstaja povezava med " pri "in" X ».
Drugi postopek. Določi se, katera črta (trajektorija) lahko najbolje opiše ali označi ta trend.
Tretji postopek.
Primer. Recimo, da imamo informacije o povprečnem pridelku sončnic za proučevano kmetijo (tabela 9.1).
Tabela 9.1
|
Številka opazovanja |
||||||||||
|
Produktivnost, c/ha |
Ker je tehnološka raven pridelave sončnic pri nas v zadnjih 10 letih skoraj nespremenjena, to pomeni, da so bila očitno nihanja pridelka v analiziranem obdobju zelo odvisna od nihanja vremenskih in podnebnih razmer. Je to res res?
Prvi OLS postopek. Preverjena je hipoteza o obstoju trenda spreminjanja pridelka sončnic glede na spremembe vremena in podnebnih razmer v analiziranih 10 letih.
V tem primeru za " l " je priporočljivo vzeti pridelek sončnic in za " x » – številka opazovanega leta v analiziranem obdobju. Preizkušanje hipoteze o obstoju kakršnega koli razmerja med " x "in" l »lahko na dva načina: ročno in z uporabo računalniških programov. Seveda je z razpoložljivostjo računalniške tehnologije ta problem mogoče rešiti sam. Toda za boljše razumevanje orodij MNC je priporočljivo preizkusiti hipotezo o obstoju razmerja med " x "in" l » ročno, ko sta pri roki le pisalo in navaden kalkulator. V takih primerih je hipotezo o obstoju trenda najbolje vizualno preveriti z lokacijo grafične podobe analizirane serije dinamike - korelacijskega polja:
Korelacijsko polje v našem primeru se nahaja okoli počasi naraščajoče črte. To samo po sebi kaže na obstoj določenega trenda v gibanju pridelka sončnic. Nemogoče je govoriti o prisotnosti kakršne koli težnje le, če je korelacijsko polje videti kot krog, krog, strogo navpičen ali strogo vodoraven oblak ali je sestavljeno iz kaotično razpršenih točk. V vseh drugih primerih je hipoteza o obstoju razmerja med “ x "in" l «, in nadaljujte z raziskovanjem.
Drugi postopek OLS. Ugotavlja se, katera črta (trajektorija) lahko najbolje opiše oziroma karakterizira trend sprememb pridelka sončnic v analiziranem obdobju.
Če imate računalniško tehnologijo, se izbira optimalnega trenda zgodi samodejno. Pri "ročni" obdelavi se izbira optimalne funkcije praviloma izvaja vizualno - glede na lokacijo korelacijskega polja. To pomeni, da se glede na vrsto grafa izbere enačba premice, ki najbolje ustreza empiričnemu trendu (dejanski trajektoriji).
Kot veste, je v naravi ogromno različnih funkcionalnih odvisnosti, zato je zelo težko vizualno analizirati celo majhen del njih. Na srečo je v realni ekonomski praksi večino razmerij mogoče precej natančno opisati bodisi s parabolo, bodisi s hiperbolo ali z ravno črto. Pri tem se lahko z “ročno” možnostjo izbire najboljše funkcije omejite le na te tri modele.
|
Hiperbola: |
||
|
|
|
Parabola drugega reda: 
:
Lahko vidimo, da je v našem primeru trend sprememb pridelka sončnic v analiziranih 10 letih najbolje karakteriziran z ravno črto, zato bo regresijska enačba enačba premice.
Tretji postopek. Izračunajo se parametri regresijske enačbe, ki označujejo to črto, ali z drugimi besedami, določi se analitična formula, ki opisuje najboljši model trend.
Iskanje vrednosti parametrov regresijske enačbe, v našem primeru parametrov in , je jedro OLS. Ta postopek se zmanjša na reševanje sistema normalnih enačb.
(9.2)
Ta sistem enačb je mogoče precej enostavno rešiti z Gaussovo metodo. Spomnimo se, da so kot rezultat rešitve v našem primeru najdene vrednosti parametrov in . Tako bo ugotovljena regresijska enačba imela naslednjo obliko: 
Če je določena fizikalna količina odvisna od druge količine, potem lahko to odvisnost preučujemo z merjenjem y pri različnih vrednostih x. Kot rezultat meritev dobimo številne vrednosti:
x 1, x 2, ..., x i, ..., x n;
y 1, y 2, ..., y i, ..., y n.
Na podlagi podatkov takšnega poskusa je mogoče sestaviti graf odvisnosti y = ƒ(x). Nastala krivulja omogoča presojo oblike funkcije ƒ(x). Vendar konstantni koeficienti, ki vstopajo v to funkcijo, ostajajo neznani. Določimo jih lahko z metodo najmanjših kvadratov. Eksperimentalne točke praviloma ne ležijo natančno na krivulji. Metoda najmanjših kvadratov zahteva, da se vsota kvadratov odstopanj eksperimentalnih točk od krivulje, tj.
2 je bil najmanjši.
V praksi se ta metoda najpogosteje (in najenostavneje) uporablja v primeru linearne povezave, tj. kdaj y = kx oz
y = a + bx.
Linearna odvisnost je v fiziki zelo razširjena. In tudi ko je razmerje nelinearno, običajno poskušajo sestaviti graf tako, da dobijo ravno črto. Če na primer predpostavimo, da je lomni količnik stekla n povezan z valovno dolžino svetlobe λ z razmerjem n = a + b/λ 2, potem se na grafu nariše odvisnost n od λ -2. V praksi se ta metoda najpogosteje (in najenostavneje) uporablja v primeru linearne povezave, tj. kdaj(ravna črta, ki poteka skozi izhodišče). Sestavimo vrednost φ vsoto kvadratov odstopanj naših točk od ravne črte
Vrednost φ je vedno pozitivna in se izkaže za manjšo, čim bližje so naše točke premici. Metoda najmanjših kvadratov pravi, da je treba vrednost za k izbrati tako, da ima φ minimum
oz
(19)
Izračun pokaže, da je povprečna kvadratna napaka pri določanju vrednosti k enaka
, (20)
kjer je n število meritev.
Oglejmo si zdaj nekoliko težji primer, ko morajo točke zadostiti formuli y = a + bx(ravna črta, ki ne poteka skozi izhodišče).
Naloga je najti najboljše vrednosti a in b iz razpoložljivega niza vrednosti x i, y i.
Ponovno sestavimo kvadratno obliko φ, ki je enaka vsoti kvadratov odstopanj točk x i, y i od premice
in poiščite vrednosti a in b, za katere ima φ minimum
;
.
Skupna rešitev teh enačb daje
(21)
Srednje kvadratne napake določitve a in b so enake
(23)
. (24)
Pri obdelavi rezultatov meritev s to metodo je priročno povzeti vse podatke v tabeli, v kateri so predhodno izračunane vse količine, vključene v formule (19)(24). Oblike teh tabel so podane v spodnjih primerih.
Primer 1. Preučena je bila osnovna enačba dinamike rotacijsko gibanjeε = M/J (premica skozi izhodišče). Pri različnih vrednostih momenta M je bil izmerjen kotni pospešek ε določenega telesa. Potrebno je določiti vztrajnostni moment tega telesa. V drugem in tretjem stolpcu so navedeni rezultati meritev momenta sile in kotnega pospeška tabela 5.
Tabela 5
| n | M, N m | ε, s -1 | M 2 | M ε | ε - kM | (ε - kM) 2 |
| 1 | 1.44 | 0.52 | 2.0736 | 0.7488 | 0.039432 | 0.001555 |
| 2 | 3.12 | 1.06 | 9.7344 | 3.3072 | 0.018768 | 0.000352 |
| 3 | 4.59 | 1.45 | 21.0681 | 6.6555 | -0.08181 | 0.006693 |
| 4 | 5.90 | 1.92 | 34.81 | 11.328 | -0.049 | 0.002401 |
| 5 | 7.45 | 2.56 | 55.5025 | 19.072 | 0.073725 | 0.005435 |
| ∑ | | | 123.1886 | 41.1115 | | 0.016436 |
S formulo (19) določimo:
.
Za določitev srednje kvadratne napake uporabimo formulo (20)
0.005775kg-1 · m -2 .
Po formuli (18) imamo
S J = (2,996 0,005775)/0,3337 = 0,05185 kg m2.
Po nastavitvi zanesljivosti P = 0,95 z uporabo tabele Studentovih koeficientov za n = 5 najdemo t = 2,78 in določimo absolutno napako ΔJ = 2,78 0,05185 = 0,1441 ≈ 0,2 kg m2.
Zapišimo rezultate v obliki:
J = (3,0 ± 0,2) kg m2;
Primer 2. Izračunajmo temperaturni koeficient kovinskega upora z metodo najmanjših kvadratov. Odpornost je linearno odvisna od temperature
R t = R 0 (1 + α t°) = R 0 + R 0 α t°.
Prosti člen določa upor R 0 pri temperaturi 0 ° C, koeficient naklona pa je produkt temperaturnega koeficienta α in upora R 0 .
Rezultati meritev in izračunov so podani v tabeli ( glej tabelo 6).
Tabela 6
| n | t°, s | r, Ohm | t-¯t | (t-¯t) 2 | (t-¯t)r | r - bt - a | (r - bt - a) 2 .10 -6 |
| 1 | 23 | 1.242 | -62.8333 | 3948.028 | -78.039 | 0.007673 | 58.8722 |
| 2 | 59 | 1.326 | -26.8333 | 720.0278 | -35.581 | -0.00353 | 12.4959 |
| 3 | 84 | 1.386 | -1.83333 | 3.361111 | -2.541 | -0.00965 | 93.1506 |
| 4 | 96 | 1.417 | 10.16667 | 103.3611 | 14.40617 | -0.01039 | 107.898 |
| 5 | 120 | 1.512 | 34.16667 | 1167.361 | 51.66 | 0.021141 | 446.932 |
| 6 | 133 | 1.520 | 47.16667 | 2224.694 | 71.69333 | -0.00524 | 27.4556 |
| ∑ | 515 | 8.403 | | 8166.833 | 21.5985 | | 746.804 |
| ∑/n | 85.83333 | 1.4005 | | | | | |
Z uporabo formul (21), (22) določimo
R 0 = ¯ R- α R 0 ¯ t = 1,4005 - 0,002645 85,83333 = 1,1735 Ohm.
Poiščimo napako v definiciji α. Ker imamo po formuli (18):
.
Z uporabo formul (23), (24) imamo
;
0.014126 Ohm.
Po nastavitvi zanesljivosti na P = 0,95 z uporabo tabele Studentovih koeficientov za n = 6 najdemo t = 2,57 in določimo absolutno napako Δα = 2,57 0,000132 = 0,000338 stopinj -1.
α = (23 ± 4) 10 -4 toča-1 pri P = 0,95.
Primer 3. Potrebno je določiti polmer ukrivljenosti leče z uporabo Newtonovih obročev. Izmerili smo polmere Newtonovih obročev r m in določili število teh obročev m. Polmeri Newtonovih obročev so povezani s polmerom ukrivljenosti leče R in številom obročev z enačbo
r 2 m = mλR - 2d 0 R,
kjer je d 0 debelina reže med lečo in ravninsko vzporedno ploščo (ali deformacija leče),
λ valovna dolžina vpadne svetlobe.
λ = (600 ± 6) nm;
r 2 m = y;
m = x;
λR = b;
-2d 0 R = a,
potem bo enačba dobila obliko y = a + bx.
.Vnesemo rezultate meritev in izračunov tabela 7.
Tabela 7
| n | x = m | y = r 2, 10 -2 mm 2 | m -¯m | (m -¯m) 2 | (m -¯ m)y | y - bx - a, 10 -4 | (y - bx - a) 2, 10 -6 |
| 1 | 1 | 6.101 | -2.5 | 6.25 | -0.152525 | 12.01 | 1.44229 |
| 2 | 2 | 11.834 | -1.5 | 2.25 | -0.17751 | -9.6 | 0.930766 |
| 3 | 3 | 17.808 | -0.5 | 0.25 | -0.08904 | -7.2 | 0.519086 |
| 4 | 4 | 23.814 | 0.5 | 0.25 | 0.11907 | -1.6 | 0.0243955 |
| 5 | 5 | 29.812 | 1.5 | 2.25 | 0.44718 | 3.28 | 0.107646 |
| 6 | 6 | 35.760 | 2.5 | 6.25 | 0.894 | 3.12 | 0.0975819 |
| ∑ | 21 | 125.129 | | 17.5 | 1.041175 | | 3.12176 |
| ∑/n | 3.5 | 20.8548333 | | | | | |