प्रायोगिक डेटाचे अंदाजे विश्लेषणात्मक कार्यासह प्रायोगिकरित्या प्राप्त केलेल्या डेटाच्या बदलीवर आधारित एक पद्धत आहे जी प्रारंभिक मूल्यांसह नोडल बिंदूंवर सर्वात जवळून उत्तीर्ण होते किंवा एकरूप होते (प्रयोग किंवा प्रयोगादरम्यान प्राप्त केलेला डेटा). विश्लेषणात्मक कार्य परिभाषित करण्याचे सध्या दोन मार्ग आहेत:
उत्तीर्ण होणारा n-डिग्री इंटरपोलेशन बहुपद बांधून थेट सर्व बिंदूंद्वारेदिलेला डेटा. या प्रकरणात, अंदाजे कार्य असे दर्शविले जाते: लॅग्रेंज फॉर्ममध्ये इंटरपोलेशन बहुपदी किंवा न्यूटन फॉर्ममध्ये इंटरपोलेशन बहुपदी.
उत्तीर्ण होणारी अंदाजे बहुपदी n-डिग्री तयार करून गुणांच्या जवळदिलेल्या डेटा अॅरेमधून. अशा प्रकारे, अंदाजे कार्य प्रयोगादरम्यान उद्भवू शकणारा सर्व यादृच्छिक आवाज (किंवा त्रुटी) गुळगुळीत करते: प्रयोगादरम्यान मोजलेली मूल्ये यादृच्छिक घटकांवर अवलंबून असतात जी त्यांच्या स्वत: च्या यादृच्छिक नियमांनुसार चढ-उतार होतात (मापन किंवा साधन त्रुटी, अयोग्यता किंवा प्रायोगिक चुका). या प्रकरणात, अंदाजे कार्य पद्धतीद्वारे निर्धारित केले जाते किमान चौरस.
किमान चौरस पद्धत(इंग्रजी साहित्यात ऑर्डिनरी लीस्ट स्क्वेअर्स, ओएलएस) अंदाजे फंक्शनच्या व्याख्येवर आधारित गणितीय पद्धत आहे, जी प्रायोगिक डेटाच्या दिलेल्या अॅरेमधून पॉइंट्सच्या अगदी जवळ तयार केली जाते. प्रारंभिक आणि अंदाजे कार्ये F(x) ची समीपता संख्यात्मक मापाद्वारे निर्धारित केली जाते, म्हणजे: अंदाजे वक्र F(x) पासून प्रायोगिक डेटाच्या वर्ग विचलनांची बेरीज सर्वात लहान असावी.
कमीत कमी चौरस पद्धतीने बांधलेले फिटिंग वक्र
किमान चौरस पद्धत वापरली जाते:
जेव्हा समीकरणांची संख्या अज्ञातांच्या संख्येपेक्षा जास्त असते तेव्हा समीकरणांच्या अतिनिर्धारित प्रणालींचे निराकरण करण्यासाठी;
समीकरणांच्या सामान्य (अतिनिर्धारित नाही) नॉनलाइनर सिस्टम्सच्या बाबतीत उपाय शोधण्यासाठी;
काही अंदाजे कार्याद्वारे अंदाजे बिंदू मूल्यांसाठी.
किमान स्क्वेअर पद्धतीद्वारे अंदाजे फंक्शन प्रायोगिक डेटाच्या दिलेल्या अॅरेमधून गणना केलेल्या अंदाजे फंक्शनच्या स्क्वेअर विचलनाच्या किमान बेरीजच्या स्थितीवरून निर्धारित केले जाते. किमान चौरस पद्धतीचा हा निकष खालील अभिव्यक्ती म्हणून लिहिला आहे:
नोडल बिंदूंवर गणना केलेल्या अंदाजे कार्याची मूल्ये,
नोडल पॉईंट्सवर प्रायोगिक डेटाचा निर्दिष्ट अॅरे.
चतुर्भुज निकषामध्ये अनेक "चांगले" गुणधर्म असतात, जसे की भिन्नता, बहुपदी अंदाजे कार्यांसह अंदाजे समस्येचे एक अद्वितीय समाधान प्रदान करते.
समस्येच्या परिस्थितीनुसार, अंदाजे कार्य हे डिग्री m चे बहुपदी आहे
अंदाजे कार्याची डिग्री नोडल बिंदूंच्या संख्येवर अवलंबून नसते, परंतु त्याची परिमाणे नेहमी प्रायोगिक डेटाच्या दिलेल्या अॅरेच्या परिमाण (बिंदूंची संख्या) पेक्षा कमी असणे आवश्यक आहे.
∙ जर अंदाजे फंक्शनची डिग्री m=1 असेल, तर आपण टेबल फंक्शनचे अंदाजे सरळ रेषेने (रेखीय प्रतिगमन) करतो.
∙ जर अंदाजे फंक्शनची डिग्री m=2 असेल, तर आपण चतुर्भुज पॅराबोला (चतुर्भुज अंदाजे) सह टेबल फंक्शन अंदाजे काढतो.
∙ जर अंदाजे फंक्शनची डिग्री m=3 असेल, तर आम्ही क्यूबिक पॅराबोला (क्यूबिक अंदाजे) सह टेबल फंक्शनचा अंदाज लावतो.
सर्वसाधारण स्थितीत, जेव्हा दिलेल्या सारणी मूल्यांसाठी अंश m ची अंदाजे बहुपदी तयार करणे आवश्यक असते, तेव्हा सर्व नोडल बिंदूंवरील वर्ग विचलनाच्या किमान बेरीजची स्थिती पुढील स्वरूपात पुन्हा लिहिली जाते:
- डिग्री m च्या अंदाजे बहुपदीचे अज्ञात गुणांक;
निर्दिष्ट सारणी मूल्यांची संख्या.
फंक्शनच्या किमान अस्तित्वासाठी आवश्यक अट म्हणजे अज्ञात चलांच्या संदर्भात त्याच्या आंशिक डेरिव्हेटिव्हच्या शून्याशी समानता. . परिणामी, आम्ही खालील समीकरण प्रणाली प्राप्त करतो:
प्राप्त झालेले रूपांतर करूया रेखीय प्रणालीसमीकरणे: कंस उघडा आणि मुक्त संज्ञा अभिव्यक्तीच्या उजव्या बाजूला हलवा. परिणामी, रेखीय बीजगणितीय अभिव्यक्तीची परिणामी प्रणाली खालील स्वरूपात लिहिली जाईल:
रेखीय बीजगणित अभिव्यक्तीची ही प्रणाली मॅट्रिक्स स्वरूपात पुन्हा लिहिली जाऊ शकते:
परिणामी, m + 1 च्या रेखीय समीकरणांची एक प्रणाली प्राप्त झाली, ज्यामध्ये m + 1 अज्ञात आहेत. ही प्रणाली रेखीय बीजगणितीय समीकरणे (उदाहरणार्थ, गॉस पद्धत) सोडवण्यासाठी कोणत्याही पद्धतीचा वापर करून सोडवता येते. सोल्यूशनच्या परिणामी, अंदाजे फंक्शनचे अज्ञात पॅरामीटर्स सापडतील जे मूळ डेटामधून अंदाजे फंक्शनच्या स्क्वेअर विचलनांची किमान बेरीज प्रदान करतात, उदा. सर्वोत्तम शक्य चतुर्भुज अंदाजे. हे लक्षात ठेवले पाहिजे की प्रारंभिक डेटाचे एक मूल्य देखील बदलल्यास, सर्व गुणांक त्यांचे मूल्य बदलतील, कारण ते प्रारंभिक डेटाद्वारे पूर्णपणे निर्धारित केले जातात.
रेखीय अवलंबनाद्वारे प्रारंभिक डेटाचे अंदाजे
(रेखीय प्रतिगमन)
उदाहरण म्हणून, अंदाजे फंक्शन निर्धारित करण्याच्या पद्धतीचा विचार करा, जी एक रेखीय संबंध म्हणून दिली आहे. किमान वर्ग पद्धतीनुसार, वर्ग विचलनाच्या किमान बेरीजची अट खालीलप्रमाणे लिहिली आहे:
टेबलच्या नोडल बिंदूंचे समन्वय;
अंदाजे कार्याचे अज्ञात गुणांक, जे रेखीय संबंध म्हणून दिले जाते.
फंक्शनच्या किमान अस्तित्वासाठी आवश्यक अट म्हणजे अज्ञात चलांच्या संदर्भात त्याच्या आंशिक डेरिव्हेटिव्हच्या शून्याशी समानता. परिणामी, आम्ही खालील समीकरण प्रणाली प्राप्त करतो:
समीकरणांच्या परिणामी रेखीय प्रणालीचे रूपांतर करू.
आम्ही रेखीय समीकरणांची परिणामी प्रणाली सोडवतो. विश्लेषणात्मक स्वरूपातील अंदाजे कार्याचे गुणांक खालीलप्रमाणे निर्धारित केले जातात (क्रेमरची पद्धत):
हे गुणांक दिलेल्या सारणी मूल्ये (प्रायोगिक डेटा) पासून अंदाजे कार्याच्या चौरसांची बेरीज कमी करण्याच्या निकषानुसार एका रेखीय अंदाजे कार्याचे बांधकाम प्रदान करतात.
कमीत कमी चौरसांची पद्धत लागू करण्यासाठी अल्गोरिदम
1. प्रारंभिक डेटा:
मोजमाप N च्या संख्येसह प्रायोगिक डेटाचे अॅरे दिले
अंदाजे बहुपदी (m) ची पदवी दिली आहे
2. गणना अल्गोरिदम:
२.१. परिमाणांसह समीकरणांची प्रणाली तयार करण्यासाठी गुणांक निर्धारित केले जातात
समीकरण प्रणालीचे गुणांक (समीकरणाची डावी बाजू)
- समीकरण प्रणालीच्या चौरस मॅट्रिक्सच्या स्तंभ क्रमांकाची अनुक्रमणिका
रेखीय समीकरण प्रणालीचे मुक्त सदस्य (समीकरणाची उजवी बाजू)
- समीकरण प्रणालीच्या चौरस मॅट्रिक्सच्या पंक्ती क्रमांकाची अनुक्रमणिका
२.२. परिमाणांसह रेखीय समीकरणांची प्रणाली तयार करणे.
२.३. डिग्री m च्या अंदाजे बहुपदीचे अज्ञात गुणांक निर्धारित करण्यासाठी रेखीय समीकरणांच्या प्रणालीचे समाधान.
2.4 सर्व नोडल बिंदूंवरील प्रारंभिक मूल्यांमधून अंदाजे बहुपदीच्या वर्ग विचलनाच्या बेरजेचे निर्धारण
वर्ग विचलनाच्या बेरजेचे आढळलेले मूल्य किमान शक्य आहे.
इतर कार्यांसह अंदाजे
हे लक्षात घेतले पाहिजे की कमीत कमी स्क्वेअर पद्धतीनुसार प्रारंभिक डेटा अंदाजे करताना, लॉगरिदमिक फंक्शन, घातांकीय फंक्शन आणि पॉवर फंक्शन कधीकधी अंदाजे फंक्शन म्हणून वापरले जातात.
लॉग अंदाजे
जेव्हा अंदाजे फंक्शन फॉर्मच्या लॉगरिदमिक फंक्शनद्वारे दिले जाते तेव्हा केस विचारात घ्या:
उदाहरण.
व्हेरिएबल्सच्या मूल्यांवर प्रायोगिक डेटा एक्सआणि येथेटेबलमध्ये दिले आहेत. 
त्यांच्या संरेखनाचा परिणाम म्हणून, कार्य 
वापरत आहे किमान चौरस पद्धत, रेखीय अवलंबनासह या डेटाचे अंदाजे y=ax+b(पर्याय शोधा aआणि b). दोन ओळींपैकी कोणती चांगली आहे ते शोधा (कमीत कमी चौरस पद्धतीच्या अर्थाने) प्रायोगिक डेटा संरेखित करते. एक रेखाचित्र बनवा.
किमान चौरस (LSM) च्या पद्धतीचे सार.
रेखीय अवलंबन गुणांक शोधण्यात समस्या आहे ज्यासाठी दोन चलांचे कार्य आहे aआणि b 
सर्वात लहान मूल्य घेते. म्हणजेच डेटा दिलेला आहे aआणि bआढळलेल्या सरळ रेषेतून प्रायोगिक डेटाच्या वर्ग विचलनाची बेरीज सर्वात लहान असेल. हा किमान चौरस पद्धतीचा संपूर्ण मुद्दा आहे.
अशाप्रकारे, उदाहरणाचे समाधान दोन चलांच्या फंक्शनचे टोक शोधण्यासाठी कमी केले जाते.
गुणांक शोधण्यासाठी सूत्रांची व्युत्पत्ती.
दोन अज्ञातांसह दोन समीकरणांची एक प्रणाली संकलित केली जाते आणि सोडविली जाते. व्हेरिएबल्सच्या संदर्भात फंक्शनचे आंशिक डेरिव्हेटिव्ह शोधणे aआणि b, आम्ही या व्युत्पन्नांची शून्याशी बरोबरी करतो. 
आम्ही समीकरणांची परिणामी प्रणाली कोणत्याही पद्धतीने सोडवतो (उदाहरणार्थ प्रतिस्थापन पद्धतकिंवा ) आणि किमान वर्ग पद्धत (LSM) वापरून गुणांक शोधण्यासाठी सूत्रे मिळवा. 
डेटासह aआणि bकार्य सर्वात लहान मूल्य घेते. या वस्तुस्थितीचा पुरावा दिला आहे.
किमान चौरसांची ही संपूर्ण पद्धत आहे. पॅरामीटर शोधण्यासाठी सूत्र aबेरीज , , , आणि पॅरामीटर समाविष्टीत आहे n- प्रायोगिक डेटाचे प्रमाण. या रकमेची मूल्ये स्वतंत्रपणे मोजण्याची शिफारस केली जाते. गुणांक bगणना केल्यानंतर आढळले a.
मूळ उदाहरण लक्षात ठेवण्याची वेळ आली आहे.
उपाय.
आमच्या उदाहरणात n=5. आवश्यक गुणांकांच्या सूत्रांमध्ये समाविष्ट असलेल्या रकमांची गणना करण्याच्या सोयीसाठी आम्ही टेबल भरतो. 
टेबलच्या चौथ्या ओळीतील मूल्ये प्रत्येक संख्येसाठी 2र्‍या पंक्तीच्या मूल्यांना 3र्‍या पंक्तीच्या मूल्यांनी गुणाकारून मिळवली जातात. i.
टेबलच्या पाचव्या ओळीतील मूल्ये प्रत्येक संख्येसाठी दुसऱ्या पंक्तीच्या मूल्यांचे वर्गीकरण करून मिळवली जातात. i.
सारणीच्या शेवटच्या स्तंभाची मूल्ये ही पंक्तींमधील मूल्यांची बेरीज आहेत.
गुणांक शोधण्यासाठी आम्ही किमान वर्ग पद्धतीची सूत्रे वापरतो aआणि b. आम्ही त्यामध्ये सारणीच्या शेवटच्या स्तंभातील संबंधित मूल्ये बदलतो: 
परिणामी, y=0.165x+2.184इच्छित अंदाजे सरळ रेषा आहे.
कोणत्या ओळी आहेत हे शोधणे बाकी आहे y=0.165x+2.184किंवा मूळ डेटाचे अंदाजे अधिक चांगले, म्हणजे किमान वर्ग पद्धती वापरून अंदाज बांधणे.
कमीतकमी चौरसांच्या पद्धतीच्या त्रुटीचा अंदाज.
हे करण्यासाठी, तुम्हाला या ओळींमधून मूळ डेटाच्या चौरस विचलनांची बेरीज मोजावी लागेल. 
आणि 
, लहान मूल्य त्या रेषेशी संबंधित आहे जे कमीत कमी वर्ग पद्धतीनुसार मूळ डेटाचे सर्वोत्तम अंदाज लावते. 
पासून, नंतर ओळ y=0.165x+2.184मूळ डेटाचे अंदाजे अधिक चांगले.
किमान वर्ग पद्धतीचे ग्राफिक चित्रण (LSM).
चार्टवर सर्व काही छान दिसते. लाल रेषा ही सापडलेली रेषा आहे y=0.165x+2.184, निळी रेषा आहे , गुलाबी ठिपके मूळ डेटा आहेत.
हे कशासाठी आहे, हे सर्व अंदाज कशासाठी आहेत?
मी वैयक्तिकरित्या डेटा स्मूथिंग समस्या, इंटरपोलेशन आणि एक्सट्रापोलेशन समस्या सोडवण्यासाठी वापरतो (मूळ उदाहरणामध्ये, तुम्हाला निरीक्षण केलेल्या मूल्याचे मूल्य शोधण्यास सांगितले जाऊ शकते. yयेथे x=3किंवा केव्हा x=6 MNC पद्धतीनुसार). परंतु आम्ही साइटच्या दुसर्या विभागात याबद्दल अधिक बोलू.
पुरावा.
जेणेकरून जेव्हा सापडेल aआणि bफंक्शन सर्वात लहान मूल्य घेते, हे आवश्यक आहे की या टप्प्यावर फंक्शनसाठी द्वितीय-ऑर्डर विभेदक चतुर्भुज स्वरूपाचे मॅट्रिक्स सकारात्मक निश्चित होते. ते दाखवूया.
दुसर्या ऑर्डरच्या भिन्नतेचे स्वरूप आहे: 
ते आहे
म्हणून, चतुर्भुज स्वरूपाच्या मॅट्रिक्समध्ये फॉर्म आहे 
आणि घटकांची मूल्ये अवलंबून नाहीत aआणि b.
चला दाखवूया की मॅट्रिक्स सकारात्मक निश्चित आहे. यासाठी कोन अल्पवयीन असणे आवश्यक आहे.
पहिल्या ऑर्डरचा कोनीय मायनर 
. विषमता कठोर आहे, कारण गुण जुळत नाहीत. हे पुढील गोष्टींमध्ये सूचित केले जाईल.
दुसऱ्या क्रमाचा कोनीय मायनर 
ते सिद्ध करूया 
गणितीय प्रेरण पद्धतीद्वारे.
निष्कर्ष: मूल्ये सापडली aआणि bफंक्शनच्या सर्वात लहान मूल्याशी संबंधित आहे , म्हणून, किमान वर्ग पद्धतीसाठी इच्छित पॅरामीटर्स आहेत.
संरेखन केल्यानंतर, आम्हाला खालील फॉर्मचे कार्य मिळते: g (x) = x + 1 3 + 1 .
योग्य पॅरामीटर्सची गणना करून आपण y = a x + b या रेषीय संबंधासह हा डेटा अंदाजे काढू शकतो. हे करण्यासाठी, आम्हाला तथाकथित किमान चौरस पद्धत लागू करावी लागेल. प्रायोगिक डेटाला कोणती ओळ सर्वोत्तम संरेखित करेल हे तपासण्यासाठी तुम्हाला एक रेखाचित्र देखील बनवावे लागेल.
OLS म्हणजे नेमके काय (कमीतकमी चौरस पद्धत)
मुख्य म्हणजे आपल्याला असे रेखीय अवलंबन गुणांक शोधणे आवश्यक आहे ज्यावर F (a, b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2 या दोन चलांच्या कार्याचे मूल्य सर्वात लहान असेल. . दुसऱ्या शब्दांत, a आणि b च्या ठराविक मूल्यांसाठी, परिणामी सरळ रेषेतून सादर केलेल्या डेटाच्या वर्ग विचलनाची बेरीज किमान मूल्य असेल. हा किमान वर्ग पद्धतीचा अर्थ आहे. उदाहरण सोडवण्यासाठी आपल्याला फक्त दोन व्हेरिएबल्सच्या फंक्शनचा एक्स्ट्रीमम शोधायचा आहे.
गुणांकांची गणना करण्यासाठी सूत्रे कशी काढायची
गुणांकांची गणना करण्यासाठी सूत्रे मिळविण्यासाठी, दोन चलांसह समीकरणांची प्रणाली तयार करणे आणि सोडवणे आवश्यक आहे. हे करण्यासाठी, आम्ही a आणि b च्या संदर्भात F (a , b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2 या अभिव्यक्तीच्या आंशिक व्युत्पन्नांची गणना करतो आणि त्यांची बरोबरी करतो.
δ F (a , b) δ a = 0 δ F (a , b) δ b = 0 ⇔ - 2 ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) x i = 0 - 2 ∑ i = 1 n ( y i - (a x i + b)) = 0 ⇔ a ∑ i = 1 n x i 2 + b ∑ i = 1 n x i = ∑ i = 1 n x i y i a ∑ i = 1 n x i + ∑ i = 1 n b = ∑ i y = 1 n x i + ∑ i = 1 n x i 2 + b ∑ i = 1 n x i = ∑ i = 1 n x i y i i a ∑ i = 1 n x i + n b = ∑ i = 1 n y i
समीकरणांची प्रणाली सोडवण्यासाठी, तुम्ही प्रतिस्थापन किंवा क्रेमरची पद्धत यासारख्या कोणत्याही पद्धती वापरू शकता. परिणामी, किमान वर्ग पद्धती वापरून गुणांक काढणारी सूत्रे आपल्याला मिळायला हवीत.
n ∑ i = 1 n x i y i - ∑ i = 1 n x i ∑ i = 1 n y i n ∑ i = 1 n - ∑ i = 1 n x i 2 b = ∑ i = 1 n y i - a ∑ i = 1 n
ज्या व्हेरिएबल्ससाठी फंक्शन आहे त्यांची व्हॅल्यू आम्ही मोजली आहेत
F (a , b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2 हे किमान मूल्य घेईल. तिसर्‍या परिच्छेदात, असे का आहे हे आपण सिद्ध करू.
हे सराव मध्ये किमान चौरस पद्धतीचा वापर आहे. त्याचे सूत्र, जे पॅरामीटर a शोधण्यासाठी वापरले जाते, त्यात ∑ i = 1 n x i , ∑ i = 1 n y i , ∑ i = 1 n x i y i , ∑ i = 1 n x i 2 , आणि पॅरामीटर समाविष्ट आहे.
n - हे प्रायोगिक डेटाचे प्रमाण दर्शवते. आम्ही तुम्हाला प्रत्येक रकमेची स्वतंत्रपणे गणना करण्याचा सल्ला देतो. गुणांक मूल्य b ची गणना a नंतर लगेच केली जाते.
मूळ उदाहरणाकडे वळू.
उदाहरण १
येथे आपल्याकडे पाच बरोबर n आहे. गुणांक सूत्रांमध्ये समाविष्ट केलेल्या आवश्यक रकमांची गणना करणे अधिक सोयीस्कर करण्यासाठी, आम्ही सारणी भरतो.
| i = 1 | i = 2 | i = 3 | i = 4 | i = 5 | ∑ i = 1 5 | |
| x i | 0 | 1 | 2 | 4 | 5 | 12 |
| y i | 2 , 1 | 2 , 4 | 2 , 6 | 2 , 8 | 3 | 12 , 9 |
| x i y i | 0 | 2 , 4 | 5 , 2 | 11 , 2 | 15 | 33 , 8 |
| x i 2 | 0 | 1 | 4 | 16 | 25 | 46 |
उपाय
चौथ्या पंक्तीमध्ये प्रत्येक व्यक्तीसाठी दुसऱ्या ओळीतील मूल्यांचा तिसऱ्याच्या मूल्यांनी गुणाकार करून प्राप्त केलेला डेटा असतो i. पाचव्या ओळीत दुसऱ्या स्क्वेअरमधील डेटा आहे. शेवटचा स्तंभ वैयक्तिक पंक्तींच्या मूल्यांची बेरीज दर्शवितो.
आपल्याला आवश्यक असलेले a आणि b गुणांक काढण्यासाठी किमान वर्ग पद्धती वापरू. हे करण्यासाठी, शेवटच्या स्तंभातील इच्छित मूल्ये बदला आणि बेरीजची गणना करा:
n ∑ i = 1 n x i y i - ∑ i = 1 n x i ∑ i = 1 n y i n ∑ i = 1 n - ∑ i = 1 n x i 2 b = ∑ i = 1 n y i - a ∑ i = 1 n y i - a ∑ i = 1 n 3 n = 3 n - 12 12, 9 5 46 - 12 2 b = 12, 9 - a 12 5 ⇒ a ≈ 0, 165 b ≈ 2, 184
आम्हाला समजले की इच्छित अंदाजे सरळ रेषा y = 0 , 165 x + 2 , 184 सारखी दिसेल. आता आपल्याला कोणती ओळ डेटाचा अंदाजे सर्वोत्तम अंदाज लावेल हे निर्धारित करणे आवश्यक आहे - g (x) = x + 1 3 + 1 किंवा 0 , 165 x + 2 , 184 . कमीत कमी चौरस पद्धती वापरून अंदाज बांधू.
त्रुटीची गणना करण्यासाठी, आपल्याला σ 1 = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b i)) 2 आणि σ 2 = ∑ i = 1 n (y i -) रेषांमधून डेटाच्या वर्ग विचलनाची बेरीज शोधणे आवश्यक आहे. g (x i)) 2 , किमान मूल्य अधिक योग्य रेषेशी संबंधित असेल.
σ 1 = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b i)) 2 = = ∑ i = 1 5 (y i - (0 , 165 x i + 2 , 184)) 2 ≈ 0 , 019 σ 2 = ∑ i = 1 n (y i - g (x i)) 2 = = ∑ i = 1 5 (y i - (x i + 1 3 + 1)) 2 ≈ 0 , 096
उत्तर:σ 1 पासून< σ 2 , то прямой, наилучшим образом аппроксимирующей исходные данные, будет
y = 0 , 165 x + 2 , 184 .
किमान चौरस पद्धत ग्राफिक चित्रात स्पष्टपणे दर्शविली आहे. लाल रेषा सरळ रेषा g (x) = x + 1 3 + 1 चिन्हांकित करते, निळी रेषा y = 0, 165 x + 2, 184 चिन्हांकित करते. कच्चा डेटा गुलाबी बिंदूंनी चिन्हांकित केला जातो.
या प्रकारच्या अंदाजे नेमके का आवश्यक आहेत ते स्पष्ट करूया.
डेटा गुळगुळीत करणे आवश्यक असलेल्या समस्यांमध्ये तसेच डेटा इंटरपोलेट किंवा एक्स्ट्रपोलेट करणे आवश्यक असलेल्या समस्यांमध्ये ते वापरले जाऊ शकतात. उदाहरणार्थ, वर चर्चा केलेल्या समस्येमध्ये, निरीक्षण केलेल्या प्रमाण y चे मूल्य x = 3 किंवा x = 6 वर शोधू शकते. आम्ही अशा उदाहरणांसाठी एक स्वतंत्र लेख समर्पित केला आहे.
LSM पद्धतीचा पुरावा
फंक्शनने गणना केलेल्या a आणि b चे किमान मूल्य घेण्यासाठी, दिलेल्या बिंदूवर F (a, b) = ∑ i = 1 n ( फॉर्मच्या फंक्शनच्या भिन्नतेच्या चतुर्भुज स्वरूपाचे मॅट्रिक्स आवश्यक आहे. y i - (a x i + b)) 2 सकारात्मक निश्चित आहे. ते कसे दिसावे ते दाखवूया.
उदाहरण २
आमच्याकडे खालील फॉर्मचा द्वितीय-क्रम भिन्नता आहे:
d 2 F (a ; b) = δ 2 F (a ; b) δ a 2 d 2 a + 2 δ 2 F (a ; b) δ a δ b d a d b + δ 2 F (a ; b) δ b 2 d 2ब
उपाय
δ 2 F (a ; b) δ a 2 = δ δ F (a ; b) δ a δ a = = δ - 2 ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) x i δ a = 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 δ 2 F (a ; b) δ a δ b = δ δ F (a ; b) δ a δ b = = δ - 2 ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b) ) x i δ b = 2 ∑ i = 1 n x i δ 2 F (a ; b) δ b 2 = δ δ F (a ; b) δ b δ b = δ - 2 ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) δ b = 2 ∑ i = 1 n (1) = 2 n
दुसऱ्या शब्दांत, ते खालीलप्रमाणे लिहिले जाऊ शकते: d 2 F (a ; b) = 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 d 2 a + 2 2 ∑ x i i = 1 n d a d b + (2 n) d 2 b .
आम्ही M = 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 2 ∑ i = 1 n x i 2 ∑ i = 1 n x i 2 n या द्विघाती स्वरूपाचे मॅट्रिक्स प्राप्त केले आहे.
या प्रकरणात, वैयक्तिक घटकांची मूल्ये a आणि b वर अवलंबून बदलणार नाहीत. हे मॅट्रिक्स सकारात्मक निश्चित आहे का? या प्रश्नाचे उत्तर देण्यासाठी, त्याचे टोकदार अल्पवयीन सकारात्मक आहेत का ते तपासूया.
पहिल्या क्रमाच्या कोनीय मायनरची गणना करा: 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 > 0 . गुण x i एकरूप होत नसल्यामुळे, असमानता कठोर आहे. पुढील गणनेत आम्ही हे लक्षात ठेवू.
आम्ही द्वितीय-क्रम कोनीय मायनरची गणना करतो:
d e t (M) = 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 2 ∑ i = 1 n x i 2 ∑ i = 1 n x i 2 n = 4 n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2
त्यानंतर, आम्ही गणितीय इंडक्शन वापरून n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 > 0 असमानतेच्या पुराव्याकडे जाऊ.
- ही असमानता अनियंत्रित n साठी वैध आहे का ते तपासूया. चला 2 घेऊ आणि गणना करू:
2 ∑ i = 1 2 (x i) 2 - ∑ i = 1 2 x i 2 = 2 x 1 2 + x 2 2 - x 1 + x 2 2 = = x 1 2 - 2 x 1 x 2 + x 2 2 = x 1 + x 2 2 > 0
आम्हाला योग्य समानता मिळाली (जर x 1 आणि x 2 मूल्ये जुळत नाहीत).
- ही असमानता n साठी खरी असेल असे गृहीत धरूया, म्हणजे. n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 > 0 – खरे.
- आता n + 1 साठी वैधता सिद्ध करूया, म्हणजे. ते (n + 1) ∑ i = 1 n + 1 (x i) 2 - ∑ i = 1 n + 1 x i 2 > 0 असल्यास n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 > 0 .
आम्ही गणना करतो:
(n + 1) ∑ i = 1 n + 1 (x i) 2 - ∑ i = 1 n + 1 x i 2 = = (n + 1) ∑ i = 1 n (x i) 2 + x n + 1 2 - ∑ i = 1 n x i + x n + 1 2 = = n ∑ i = 1 n (x i) 2 + n x n + 1 2 + ∑ i = 1 n (x i) 2 + x n + 1 2 - - ∑ i = 1 n x i 2 + 2 x n + 1 ∑ i = 1 n x i + x n + 1 2 = = ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 + n x n + 1 2 - x n + 1 ∑ i = 1 n x i + ∑ i = 1 n x i + ∑ i = n (x i) 2 = = ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 + x n + 1 2 - 2 x n + 1 x 1 + x 1 2 + + x n + 1 2 - 2 x n + 1 x 2 + x 2 2 + . . . + x n + 1 2 - 2 x n + 1 x 1 + x n 2 = = n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 + + (x n + 1 - x 1) 2 + (x n + 1) - x 2) 2 + . . . + (x n - 1 - x n) 2 > 0
कर्ली ब्रेसेसमध्ये बंद केलेली अभिव्यक्ती 0 पेक्षा जास्त असेल (आम्ही चरण 2 मध्ये जे गृहीत धरले आहे त्यावर आधारित), आणि उर्वरित संज्ञा 0 पेक्षा जास्त असतील कारण ते सर्व संख्यांचे वर्ग आहेत. आम्ही असमानता सिद्ध केली आहे.
उत्तर:आढळलेले a आणि b फंक्शनच्या सर्वात लहान मूल्याशी संबंधित असतील F (a, b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2, याचा अर्थ ते किमान वर्ग पद्धतीचे इच्छित पॅरामीटर्स आहेत. (LSM).
तुम्हाला मजकुरात चूक आढळल्यास, कृपया ते हायलाइट करा आणि Ctrl+Enter दाबा
- परिचयात्मक धडा मोफत आहे;
- मोठ्या संख्येने अनुभवी शिक्षक (मूळ आणि रशियन-भाषी);
- अभ्यासक्रम विशिष्ट कालावधीसाठी (महिना, सहा महिने, वर्ष) नाही, परंतु धड्यांच्या विशिष्ट संख्येसाठी (5, 10, 20, 50);
- 10,000 हून अधिक समाधानी ग्राहक.
- रशियन भाषिक शिक्षकासह एका धड्याची किंमत - 600 रूबल पासून, मूळ वक्त्यासह - 1500 रूबल पासून
किमान चौरस पद्धतीचे सार आहे ट्रेंड मॉडेलचे पॅरामीटर्स शोधण्यासाठी जे वेळ किंवा जागेतील कोणत्याही यादृच्छिक घटनेच्या विकासाच्या ट्रेंडचे सर्वोत्तम वर्णन करते (ट्रेंड ही एक ओळ आहे जी या विकासाच्या ट्रेंडचे वैशिष्ट्य दर्शवते). किमान स्क्वेअर पद्धती (OLS) चे कार्य फक्त काही ट्रेंड मॉडेल शोधणे नाही तर सर्वोत्तम किंवा इष्टतम मॉडेल शोधणे आहे. हे मॉडेल इष्टतम असेल जर निरीक्षण केलेली वास्तविक मूल्ये आणि संबंधित गणना केलेल्या ट्रेंड मूल्यांमधील वर्ग विचलनाची बेरीज किमान (सर्वात लहान) असेल:
निरीक्षण केलेल्या वास्तविक मूल्यामधील मानक विचलन कोठे आहे
आणि संबंधित गणना केलेले ट्रेंड मूल्य,
अभ्यासाधीन घटनेचे वास्तविक (निरीक्षण केलेले) मूल्य,
ट्रेंड मॉडेलचे अंदाजे मूल्य,
अभ्यासाधीन घटनेच्या निरीक्षणांची संख्या.
MNC स्वतःहून क्वचितच वापरली जाते. नियमानुसार, बहुतेकदा ते केवळ सहसंबंध अभ्यासात आवश्यक तंत्र म्हणून वापरले जाते. हे लक्षात ठेवले पाहिजे की एलएसएमचा माहितीचा आधार केवळ एक विश्वासार्ह सांख्यिकीय मालिका असू शकतो आणि निरीक्षणांची संख्या 4 पेक्षा कमी नसावी, अन्यथा, एलएसएमची गुळगुळीत प्रक्रिया त्यांचे सामान्य ज्ञान गमावू शकते.
OLS टूलकिट खालील प्रक्रियांमध्ये कमी केले आहे:
पहिली प्रक्रिया. जेव्हा निवडलेले घटक-वितर्क बदलते तेव्हा परिणामी गुणधर्म बदलण्याची कोणतीही प्रवृत्ती आहे की नाही हे दिसून येते किंवा दुसर्या शब्दात सांगायचे तर, "मध्ये संबंध आहे की नाही" येथे "आणि" एक्स ».
दुसरी प्रक्रिया. या प्रवृत्तीचे वर्णन करण्यासाठी किंवा वैशिष्ट्यीकृत करण्यासाठी कोणती ओळ (मार्गक्रमण) सर्वोत्तम सक्षम आहे हे निर्धारित केले जाते.
तिसरी प्रक्रिया.
उदाहरण. समजा आपल्याकडे अभ्यासाधीन शेतातील सरासरी सूर्यफूल उत्पन्नाची माहिती आहे (तक्ता 9.1).
तक्ता 9.1
|
निरीक्षण क्रमांक |
||||||||||
|
उत्पादकता, c/ha |
आपल्या देशातील सूर्यफुलाच्या उत्पादनातील तंत्रज्ञानाची पातळी गेल्या 10 वर्षांत फारशी बदललेली नाही, याचा अर्थ असा आहे की, बहुधा, विश्लेषण केलेल्या कालावधीतील उत्पादनातील चढउतार हे हवामान आणि हवामानाच्या परिस्थितीतील चढउतारांवर अवलंबून होते. ते खरे आहे का?
प्रथम MNC प्रक्रिया. विश्लेषण केलेल्या 10 वर्षांमध्ये हवामान आणि हवामान परिस्थितीतील बदलांवर अवलंबून सूर्यफूल उत्पादनात बदल होण्याच्या प्रवृत्तीच्या अस्तित्वाबद्दलच्या गृहीतकाची चाचणी केली जात आहे.
या उदाहरणात, "साठी y » सूर्यफुलाचे उत्पन्न घेणे उचित आहे आणि त्यासाठी « x » ही विश्लेषित कालावधीतील निरीक्षण केलेल्या वर्षाची संख्या आहे. "मधील कोणत्याही नातेसंबंधाच्या अस्तित्वाबद्दलच्या गृहीतकाची चाचणी करणे x "आणि" y » दोन प्रकारे केले जाऊ शकते: व्यक्तिचलितपणे आणि संगणक प्रोग्रामच्या मदतीने. अर्थात, संगणक तंत्रज्ञानाच्या उपलब्धतेसह, ही समस्या स्वतःच सोडवली जाते. परंतु, ओएलएस टूलकिट अधिक चांगल्या प्रकारे समजून घेण्यासाठी, "मधील नातेसंबंधाच्या अस्तित्वाबद्दलच्या गृहीतकाची चाचणी घेणे उचित आहे. x "आणि" y » स्वहस्ते, जेव्हा फक्त एक पेन आणि एक सामान्य कॅल्क्युलेटर हातात असतो. अशा प्रकरणांमध्ये, ट्रेंडच्या अस्तित्वाची गृहितक विश्लेषण केलेल्या वेळ मालिकेच्या ग्राफिक प्रतिमेच्या स्थानाद्वारे दृश्यमानपणे तपासली जाते - सहसंबंध फील्ड:
आमच्या उदाहरणातील सहसंबंध फील्ड हळूहळू वाढणाऱ्या रेषेभोवती स्थित आहे. हे स्वतःच सूर्यफूल उत्पादनातील बदलामध्ये विशिष्ट प्रवृत्तीचे अस्तित्व दर्शवते. जेव्हा परस्परसंबंध फील्ड वर्तुळ, वर्तुळ, काटेकोरपणे अनुलंब किंवा काटेकोरपणे क्षैतिज ढगासारखे दिसते किंवा यादृच्छिकपणे विखुरलेले बिंदू असतात तेव्हाच कोणत्याही ट्रेंडच्या उपस्थितीबद्दल बोलणे अशक्य आहे. इतर सर्व प्रकरणांमध्ये, "मधील नातेसंबंधाच्या अस्तित्वाच्या गृहीतकाची पुष्टी करणे आवश्यक आहे. x "आणि" y आणि संशोधन सुरू ठेवा.
दुसरी MNC प्रक्रिया. विश्लेषित कालावधीसाठी सूर्यफूल उत्पादनातील बदलांचे वर्णन किंवा वर्णन करण्यास कोणती रेषा (मार्गक्रमण) सर्वोत्तम आहे हे निर्धारित केले जाते.
संगणक तंत्रज्ञानाच्या उपलब्धतेसह, इष्टतम ट्रेंडची निवड आपोआप होते. "मॅन्युअल" प्रक्रियेसह, इष्टतम कार्याची निवड, नियमानुसार, दृश्य मार्गाने - सहसंबंध फील्डच्या स्थानाद्वारे केली जाते. म्हणजेच, तक्त्याच्या प्रकारानुसार, रेषेचे समीकरण निवडले जाते, जे अनुभवजन्य प्रवृत्तीला (वास्तविक मार्गक्रमणाला) अनुकूल असते.
आपल्याला माहिती आहेच की, निसर्गात कार्यात्मक अवलंबनांची एक प्रचंड विविधता आहे, म्हणून त्यातील अगदी लहान भागाचे दृष्यदृष्ट्या विश्लेषण करणे अत्यंत कठीण आहे. सुदैवाने, वास्तविक आर्थिक व्यवहारात, बहुतेक संबंधांचे अचूक वर्णन पॅराबोला, किंवा हायपरबोला किंवा सरळ रेषेद्वारे केले जाऊ शकते. या संदर्भात, सर्वोत्तम कार्य निवडण्यासाठी "मॅन्युअल" पर्यायासह, आपण स्वत: ला फक्त या तीन मॉडेल्सपर्यंत मर्यादित करू शकता.
|
हायपरबोला: |
||
|
|
|
दुसऱ्या क्रमाचा पॅराबोला: 
:
हे पाहणे सोपे आहे की आमच्या उदाहरणामध्ये, विश्लेषित 10 वर्षांमध्ये सूर्यफूल उत्पादनातील बदल हा सरळ रेषेद्वारे उत्तम प्रकारे दर्शविला जातो, म्हणून प्रतिगमन समीकरण हे सरळ रेषेचे समीकरण असेल.
तिसरी प्रक्रिया. या रेषेचे वैशिष्ट्य असलेल्या प्रतिगमन समीकरणाचे मापदंड मोजले जातात किंवा दुसऱ्या शब्दांत, विश्लेषणात्मक सूत्र निर्धारित केले जाते जे वर्णन करते सर्वोत्तम मॉडेलकल
प्रतिगमन समीकरणाच्या पॅरामीटर्सची मूल्ये शोधणे, आमच्या बाबतीत, पॅरामीटर्स आणि , हा LSM चा गाभा आहे. ही प्रक्रिया सामान्य समीकरणांची प्रणाली सोडवण्यासाठी कमी केली जाते.
(9.2)
ही समीकरणे गॉस पद्धतीने अगदी सहज सोडवली जातात. लक्षात ठेवा की सोल्यूशनच्या परिणामी, आमच्या उदाहरणामध्ये, पॅरामीटर्सची मूल्ये आणि आढळतात. अशा प्रकारे, सापडलेल्या प्रतिगमन समीकरणाचे खालील स्वरूप असेल: 
जर काही भौतिक प्रमाण दुसर्या प्रमाणावर अवलंबून असेल, तर x च्या भिन्न मूल्यांवर y मोजून हे अवलंबन तपासले जाऊ शकते. मोजमापांच्या परिणामी, मूल्यांची मालिका प्राप्त होते:
x 1 , x 2 , ..., x i , ... , x n ;
y 1 , y 2 , ..., y i , ... , y n .
अशा प्रयोगाच्या डेटाच्या आधारे, अवलंबन y = ƒ(x) प्लॉट करणे शक्य आहे. परिणामी वक्र फंक्शनचे स्वरूप ƒ(x) ठरवणे शक्य करते. तथापि, या फंक्शनमध्ये प्रवेश करणारे स्थिर गुणांक अज्ञात राहतात. ते कमीतकमी चौरस पद्धती वापरून निर्धारित केले जाऊ शकतात. प्रायोगिक बिंदू, एक नियम म्हणून, वक्र वर तंतोतंत खोटे बोलत नाहीत. किमान वर्गांच्या पद्धतीसाठी वक्रातून प्रायोगिक बिंदूंच्या वर्ग विचलनाची बेरीज आवश्यक असते, उदा. 2 सर्वात लहान होते.
सराव मध्ये, ही पद्धत बहुतेक वेळा (आणि सर्वात सोपी) रेखीय संबंधांच्या बाबतीत वापरली जाते, म्हणजे. कधी
y=kxकिंवा y = a + bx.
भौतिकशास्त्रात रेखीय अवलंबन खूप व्यापक आहे. आणि अवलंबित्व नॉन-रेखीय असतानाही, ते सहसा सरळ रेषा मिळतील अशा प्रकारे आलेख तयार करण्याचा प्रयत्न करतात. उदाहरणार्थ, जर असे गृहीत धरले की काचेच्या n चा अपवर्तक निर्देशांक प्रकाश लहरीच्या तरंगलांबी λ शी n = a + b/λ 2 या संबंधाने संबंधित आहे, तर λ -2 वर n चे अवलंबित्व आलेखावर प्लॉट केले आहे. .
अवलंबित्वाचा विचार करा y=kx(उत्पत्तीतून जाणारी सरळ रेषा). सरळ रेषेतून आपल्या बिंदूंच्या वर्ग विचलनाची बेरीज φ मूल्य तयार करू
φ चे मूल्य नेहमी सकारात्मक असते आणि जितके लहान होते तितके आपले बिंदू सरळ रेषेच्या जवळ असतात. किमान वर्गांची पद्धत सांगते की k साठी असे मूल्य निवडले पाहिजे ज्यावर φ किमान असेल
किंवा
(19)
गणना दर्शवते की k चे मूल्य निर्धारित करण्यात मूळ-मीन-चौरस त्रुटी समान आहे
, (20)
जेथे n ही परिमाणांची संख्या आहे.
आता आपण काही अधिक कठीण प्रकरणाचा विचार करूया, जेव्हा गुणांनी सूत्राचे समाधान केले पाहिजे y = a + bx(उत्पत्तीतून न जाणारी सरळ रेषा).
x i, y i या मूल्यांच्या दिलेल्या संचातून a आणि b ची सर्वोत्तम मूल्ये शोधणे हे कार्य आहे.
पुन्हा आपण सरळ रेषेपासून x i, y i या बिंदूंच्या वर्ग विचलनाच्या बेरजेइतके φ चतुर्भुज रूप तयार करतो.
आणि a आणि b ही मूल्ये शोधा ज्यासाठी φ किमान आहे
;
.
या समीकरणांचे संयुक्त समाधान देते
(21)
a आणि b ठरवण्यासाठी मूळ-मीन-चौरस त्रुटी समान आहेत
(23)
. (24)
या पद्धतीद्वारे मापन परिणामांवर प्रक्रिया करताना, सर्व डेटा सारणीमध्ये सारांशित करणे सोयीचे असते ज्यामध्ये सूत्र (19)(24) मध्ये समाविष्ट असलेल्या सर्व बेरीज प्राथमिकपणे मोजल्या जातात. या सारण्यांचे स्वरूप खालील उदाहरणांमध्ये दर्शविले आहे.
उदाहरण १डायनॅमिक्सच्या मूलभूत समीकरणाचा अभ्यास करण्यात आला रोटरी हालचालε = M/J (उत्पत्तीतून जाणारी सरळ रेषा). M या क्षणाच्या विविध मूल्यांसाठी, विशिष्ट शरीराचे कोनीय प्रवेग ε मोजले गेले. या शरीराच्या जडत्वाचा क्षण निश्चित करणे आवश्यक आहे. बल आणि कोनीय प्रवेगाच्या क्षणाच्या मोजमापांचे परिणाम दुसऱ्या आणि तिसऱ्या स्तंभात सूचीबद्ध आहेत टेबल 5.
तक्ता 5
| n | एम, एन मी | ε, s-1 | M2 | मी ε | ε - किमी | (ε - किमी) २ |
| 1 | 1.44 | 0.52 | 2.0736 | 0.7488 | 0.039432 | 0.001555 |
| 2 | 3.12 | 1.06 | 9.7344 | 3.3072 | 0.018768 | 0.000352 |
| 3 | 4.59 | 1.45 | 21.0681 | 6.6555 | -0.08181 | 0.006693 |
| 4 | 5.90 | 1.92 | 34.81 | 11.328 | -0.049 | 0.002401 |
| 5 | 7.45 | 2.56 | 55.5025 | 19.072 | 0.073725 | 0.005435 |
| ∑ | | | 123.1886 | 41.1115 | | 0.016436 |
सूत्र (19) द्वारे आम्ही निर्धारित करतो:
.
रूट-मीन-स्क्वेअर त्रुटी निश्चित करण्यासाठी, आम्ही सूत्र (२०) वापरतो
0.005775किलो-एक · मी -2 .
सूत्रानुसार (18) आपल्याकडे आहे
SJ = (2.996 0.005775)/0.3337 = 0.05185 kg m 2.
P = 0.95 ही विश्वासार्हता लक्षात घेता, n = 5 साठी विद्यार्थ्याच्या गुणांकांच्या तक्त्यानुसार, आम्हाला t = 2.78 सापडतो आणि ΔJ = 2.78 0.05185 = 0.1441 ≈ 0.2 पूर्ण त्रुटी निश्चित करतो. kg m 2.
आम्ही फॉर्ममध्ये निकाल लिहितो:
J = (3.0 ± 0.2) kg m 2;
उदाहरण २आम्ही कमीतकमी चौरस पद्धती वापरून धातूच्या प्रतिकाराच्या तापमान गुणांकाची गणना करतो. रेषीय नियमानुसार प्रतिकार तापमानावर अवलंबून असतो
R t \u003d R 0 (1 + α t °) \u003d R 0 + R 0 α t °.
फ्री टर्म 0 डिग्री सेल्सिअस तापमानात प्रतिकार R 0 निर्धारित करते आणि कोनीय गुणांक हा तापमान गुणांक α आणि प्रतिरोध R 0 चे उत्पादन आहे.
मोजमाप आणि गणनेचे परिणाम टेबलमध्ये दिले आहेत ( तक्ता 6 पहा).
तक्ता 6
| n | t°, s | r, ओम | t-¯t | (t-¯t) 2 | (t-¯t)r | r-bt-a | (r - bt - a) 2,10 -6 |
| 1 | 23 | 1.242 | -62.8333 | 3948.028 | -78.039 | 0.007673 | 58.8722 |
| 2 | 59 | 1.326 | -26.8333 | 720.0278 | -35.581 | -0.00353 | 12.4959 |
| 3 | 84 | 1.386 | -1.83333 | 3.361111 | -2.541 | -0.00965 | 93.1506 |
| 4 | 96 | 1.417 | 10.16667 | 103.3611 | 14.40617 | -0.01039 | 107.898 |
| 5 | 120 | 1.512 | 34.16667 | 1167.361 | 51.66 | 0.021141 | 446.932 |
| 6 | 133 | 1.520 | 47.16667 | 2224.694 | 71.69333 | -0.00524 | 27.4556 |
| ∑ | 515 | 8.403 | | 8166.833 | 21.5985 | | 746.804 |
| ∑/n | 85.83333 | 1.4005 | | | | | |
सूत्रांद्वारे (21), (22) आम्ही निर्धारित करतो
R 0 = ¯ R- α R 0 ¯ t = 1.4005 - 0.002645 85.83333 = 1.1735 ओम.
α च्या व्याख्येतील त्रुटी शोधू. तेव्हापासून, सूत्रानुसार (18) आमच्याकडे आहे:
.
फॉर्म्युला (23), (24) वापरून आपल्याकडे आहे
;
0.014126 ओम.
P = 0.95 ही विश्वासार्हता लक्षात घेता, n = 6 साठी विद्यार्थी गुणांकांच्या तक्त्यानुसार, आम्हाला t = 2.57 सापडतो आणि पूर्ण त्रुटी Δα = 2.57 0.000132 = 0.000338 निश्चित करतो. डिग्री -1.
α = (23 ± 4) 10 -4 गारा-1 P = 0.95 वर.
उदाहरण ३न्यूटनच्या वलयांमधून लेन्सच्या वक्रतेची त्रिज्या निश्चित करणे आवश्यक आहे. न्यूटनच्या r m ची त्रिज्या मोजली गेली आणि या वलयांची संख्या m ठरवली गेली. न्यूटनच्या वलयांची त्रिज्या लेन्स R च्या वक्रतेच्या त्रिज्याशी आणि समीकरणाद्वारे रिंग क्रमांकाशी संबंधित आहेत.
r 2 m = mλR - 2d 0 R,
जेथे d 0 लेन्स आणि समांतर प्लेट (किंवा लेन्स विरूपण) मधील अंतराची जाडी
λ ही घटना प्रकाशाची तरंगलांबी आहे.
λ = (600 ± 6) nm;
r 2 m = y;
m = x;
λR = b;
-2d 0 R = a,
मग समीकरण फॉर्म घेईल y = a + bx.
.मोजमाप आणि गणनेचे परिणाम प्रविष्ट केले आहेत तक्ता 7.
तक्ता 7
| n | x = m | y \u003d r 2, 10 -2 मिमी 2 | m-¯m | (m-¯m) 2 | (m-¯m)y | y-bx-a, 10-4 | (y - bx - a) 2, 10 -6 |
| 1 | 1 | 6.101 | -2.5 | 6.25 | -0.152525 | 12.01 | 1.44229 |
| 2 | 2 | 11.834 | -1.5 | 2.25 | -0.17751 | -9.6 | 0.930766 |
| 3 | 3 | 17.808 | -0.5 | 0.25 | -0.08904 | -7.2 | 0.519086 |
| 4 | 4 | 23.814 | 0.5 | 0.25 | 0.11907 | -1.6 | 0.0243955 |
| 5 | 5 | 29.812 | 1.5 | 2.25 | 0.44718 | 3.28 | 0.107646 |
| 6 | 6 | 35.760 | 2.5 | 6.25 | 0.894 | 3.12 | 0.0975819 |
| ∑ | 21 | 125.129 | | 17.5 | 1.041175 | | 3.12176 |
| ∑/n | 3.5 | 20.8548333 | | | | | |